Результаты оказались не полностью убедительными. Как сам Одлыжко весьма деликатно выразился в своей статье, «все полученные к настоящему моменту данные довольно неплохо согласуются с предсказаниями модели ГУА». Получилось несколько больше малых интервалов, чем это предсказывала модель ГУА. Тем не менее результаты Одлыжко произвели достаточное впечатление, чтобы привлечь внимание исследователей из нескольких различных областей. Дальнейшая работа позволила прояснить ситуацию с несоответствиями, отмеченными в статье 1987 года, и «гипотеза Монтгомери о парных корреляциях» стала законом Монтгомери-Одлыжко.[173]
Распределение интервалов между последовательными нетривиальными нулями дзета-функции Римана (в правильной нормировке) статистически тождественно распределению собственных значений ГУА-оператора.
О природе полученных Одлыжко результатов я могу рассказать лишь вкратце. С этой целью я воспроизвел их на своем персональном компьютере, используя список нулей, который Одлыжко любезно разместил на своем веб-сайте.[174] Чтобы избежать всяких аномалий, связанных с малыми значениями, я взял нули от 90 001-го до 100 000-го, если считать вверх по критической прямой от z = 1/2. Это составляет 10 000 нулей — вполне достаточно, чтобы извлечь из них некоторый статистический смысл. Нуль с номером 90 001 расположен в точке 1/2 + 68 194,3528i, а 100 000-й нуль — в точке 1/2 + 74 920,8275i (если округлять до 4 знаков после запятой). Итак, изучим статистические свойства последовательности из 10 000 вещественных чисел, которая начинается числом 68 194,3528, а заканчивается числом 74 920,8275.
Мы говорили в главе 13.viii, что по мере движения вверх по критической прямой нули делаются в среднем ближе друг к другу и поэтому необходимо внести поправку — растянуть верхнюю часть выбранного интервала. Это совсем не сложно сделать, умножив каждое число на его логарифм. У бóльших чисел бóльшие логарифмы, а это как раз и требуется для того, чтобы выровнять среднее расстояние между нулями. В этом и состоит смысл слова «нормировка» в приведенной выше формулировке закона Монтгомери-Одлыжко. Теперь наша последовательность начинается числом 759 011,1279 и заканчивается числом 840 925,3931.
Далее, нас интересуют относительные интервалы между нулями, поэтому можно вычесть 759 011,1279 из каждого числа в последовательности — это не повлияет на результат. Последовательность теперь идет от нуля до числа 81 914,2653. И наконец, просто для того, чтобы сделать числа покрасивее, перейдем к другому масштабу, поделив каждое число на 8,19142653. Это также не повлияет на относительные интервалы, ведь все, что мы сделали, — это сменили масштаб. В этом окончательном виде наша последовательность начинается такими числами: 0, 1,2473, 2,5840 и т.д., а заканчивается числами 9 997,3850, 9 999,1528, 10 000.
Если включить значения на концах, то перед нами будет 10 000 приготовленных для исследования чисел, простирающихся от 0 до 10 000. Поскольку имеется 9999 интервалов между последовательными числами, средний интервал равен 10 000 : 9999, что лишь совсем чуть-чуть больше единицы.
Теперь можно задавать статистические вопросы. Например: как именно интервалы отклоняются от среднего? Сколь многие из них имеют длину меньше единицы?[175] Ответ: 5 349. У скольких из них длина больше 3? Ни у одного. Этот результат радикально отличается оттого, что получается из идеально случайного разброса[176], где эти числа соответственно равны 6 321 и 489. Это подтверждает те выводы, которые можно извлечь из рисунков 18.2 и 18.3. Наши нули не разбросаны случайным образом. Они более многочисленны вблизи среднего интервала (который слегка превышает 1), и при этом имеется острая недостача интервалов малой или большой величины.
Подсчитав число интервалов величиной от 0 до 0,1, от 0,1 до 0,2 и т.д. и нанеся полученные результаты на гистограмму, масштаб которой выбран так, что полная площадь равна 9999, получаем рисунок 18.5.
Рисунок 18.5. Закон Монтгомери-Одлыжко (распределение расстояний между нулями дзета-функции от 90 001-го до 100 000-го).
173
Самой ранней ссылкой на закон Монтгомери-Одлыжко (именно под таким названием), которую мне удалось найти, является статья Николаса Каца и Питера Сарнака, опубликованная в 1999 г. Слово «закон» здесь, конечно, понимается в физическом, а не в математическом смысле. Это факт, установленный эмпирическим путем, как законы движения планет, сформулированные Кеплером. Это не математический принцип, подобный правилу знаков. В статье Сарнака и Каца на самом деле был доказан закон для дзета-функций над конечными полями (см. главу 17.iii), что позволило перекинуть мост между алгебраическим и физическим подходами к ГР.
175
Ответ не гласит «половина». Сказать «половина» означало бы перепутать середину и среднее. Среднее из четырех чисел 1, 2, 3, 8 510 294 равно 2 127 575, но половина из них меньше, чем 3.
176
Известного в математике как «распределение Пуассона». Здесь, кстати, повсюду присутствует число