Рисунок П9. Функция Линделёфа.
Кроме того, математически точно известно следующее.
• Когда σ меньше или равна нулю, μ(σ) = 1/2 − σ.
• Когда σ больше или равна единице, μ(σ) = 0.
• В критической полосе (т.е. когда σ заключена между 0 и 1, не включая границ), μ(σ) < 1/2(1 − σ). Другими словами, функция μ лежит ниже штриховой линии на рисунке П9.
• Для всех значений σ функция μ(σ) выпукла вниз. Это означает, что если соединить любые две точки на ее графике прямой линией, то отсекаемая от графика функции дуга будет целиком лежать ниже (или на) полученной прямой. Это верно везде, включая и критическую полосу; отсюда следует, что для σ, заключенной между 0 и 1, функция μ(σ) должна быть положительной или равняться нулю. (Строка 27 в песне.)
• Из справедливости ГР следует и справедливость ГЛ (которую мы сформулируем прямо сейчас), но не наоборот. ГЛ — более слабый результат.
Это, повторюсь, предел нашего знания на данный момент. ГЛ, представленная на рисунке П10, утверждает, что μ(1/2) = 0, откуда легко следует, что μ(σ) = 1/2 − σ для всех значений от минус бесконечности до σ = 1/2 и μ = 0 для всех аргументов далее на восток — ср. строки 27 и 28 из песни. Это открытая гипотеза, до сих пор не доказанная. В действительности не известно ни одного значения μ(σ), когда σ лежит строго между 0 и 1. ГЛ — величайший вызов в теории дзета-функции после ГР; она оставалась предметом активных исследований, с тех пор как Линделёф высказал ее в 1908 году.
Рисунок П10. Гипотеза Линделёфа.
Строка 24. Можно доказать, что ГЛ эквивалентна утверждению, которое ограничивает число нулей дзета-функции вне критической прямой. Если ГР верна, то, конечно, таких нулей не должно быть вовсе. Но как уже отмечалось, из доказательства ГР последует и ГЛ.
Строка 31. «А ТРПЧ можно все улучшать» — т.е. получить наилучшее возможное выражение типа Ο большого для остаточного члена.
Строка 32. При обычном интегрировании, как мы определили его в главе 7.vii, интегрируют вдоль оси x, от некоторого числа a до какого-то большего числа b. При наличии комплексных переменных можно интегрировать вдоль некоторого контура — т.е. прямой или кривой линии — в комплексной плоскости, от некоторой точки на этом контуре до какой-нибудь другой точки. Обычно контур при этом надо выбирать: результат интегрирования может зависеть от того, по какому именно контуру происходит интегрирование.[220] Контурное интегрирование — одно из основных средств в аналитической теории чисел (и вообще в теории функций комплексной переменной). Для получения определенных результатов об остаточном члене надо интегрировать по контуру, который не проходит через нули дзета-функции.
Строка 33. «Вейль обратился к предмету…». В этих последних куплетах говорится об алгебраическом подходе, упоминавшемся в главе 17.iii, и о результате А. Вейля 1942 года.
Строка 34. «Используя более хитрую дзету» — другими словами, один из упоминавшихся в главе 17.iii аналогов дзета-функции, связанных с конечными полями.
Строка 35. Мы определили характеристику поля в главе 17.ii. Аналоги ГР были доказаны только для дзета-функций, связанных с полями ненулевой характеристики — т.е. характеристики, равной некоторому простому числу p.
Строка 36. «…теорема верна». Благодаря А. Вейлю известно, что аналоги ГР для этих специальных полей верны.
Строка 40. Слова «по модулю p» используются здесь в смысле арифметики циферблата из главы 6.viii; как отмечалось в главе 17.ii, здесь имеется связь с теорией полей.
В Интернете можно найти варианты этой песни, несколько отличающиеся оттого, что написан Томом; среди них я отмечу один, который заканчивается строчкой Use R.M.T. and you'll have better luck. Это добродушный пинок в сторону «физического» подхода: R.M.T. означает random matrix theory — теорию случайных матриц.
220
Упомянутые в главе 8.ii условия Коши-Римана, которые определяют «хорошо ведущие себя функции», как раз выделяют такие функции, для которых зависимость от контура, по которому ведется интегрирование между двумя заданными точками на комплексной плоскости, носит контролируемый, «дискретный» характер.