Вернувшись в Геттинген после пасхальных каникул 1849 года, Риман принялся за свою диссертацию под руководством самого Гаусса. Ясно, что он рассчитывал стать преподавателем в университете. Однако путь к этой цели был неблизкий. Чтобы преподавать в Геттингене, необходимо было не только защитить диссертацию, но и получить еще более высокую квалификацию, так называемую Habilitation — вторую степень, для которой требовалось подготовить текст диссертации и прочитать пробную лекцию. Все вместе — и первая диссертация, и вторая — заняло у Римана более пяти лет — с двадцати двух и почти до двадцати восьми. В течение этих лет ему вообще ничего не платили.
С самого начала вместе с математикой Риман записался на ряд курсов по физике и философии. Эти предметы были обязательными для всех, кто желал преподавать в гимназии, к чему в основном и свелись бы перспективы карьеры для Римана, если бы он не сумел получить должность университетского преподавателя. Выбирая эти курсы, он, надо полагать, хотел подстраховаться. Однако он проявил глубокий интерес к обоим предметам, так что, вероятно, немалую роль при выборе сыграли и его личные склонности. Обстановка в Геттингене к этому времени улучшилась. Физик Вильгельм Вебер — один из членов «геттингенской семерки», уволенный в 1837 году, — вернулся в университет и снова стал там преподавать; в политическом климате наступила заметная оттепель. Старый друг и коллега Гаусса — они вдвоем изобрели электрический телеграф — Вебер читал курс экспериментальной физики, который посещал и Риман.[64]
Эти пять лет неоплачиваемой научной работы должны были даться Бернхарду Риману нелегко. Он находился вдали от дома; от Геттингена до Квикборна было 120 миль, что означало двухдневное путешествие, столь же неудобное, сколь и дорогое. Однако он все же не был в полном одиночестве: в 1850 году в университет прибыл Рихард Дедекинд. Дедекинду было 19 лет — на пять меньше, чем Риману, — и он также планировал написать диссертацию. Из биографического очерка, написанного Дедекиндом и включенного в «Собрание трудов» Римана, явствует, что он питал приязнь и симпатию к своему старшему коллеге, а также глубоко восхищался его математическими способностями; несколько труднее решить, каковы в данном случае были чувства самого Римана.
Оба они защитили свои диссертации с интервалом в несколько месяцев — Риман в декабре 1851 года, а Дедекинд на следующий год. Обоих экзаменовал Гаусс, которому к тому моменту шел восьмой десяток, что не помешало ему сохранять исключительную чуткость к редким математическим талантам. По поводу диссертации, представленной молодым Дедекиндом, еще не достигшим своей математической зрелости, Гаусс написал отзыв, который лишь едва выходил за рамки сухого официального одобрения. Но по поводу диссертации Римана он разразился — а Гаусс был человеком, который нечасто расточал похвалы, — таким пассажем: «Существенная и ценная работа, которая не просто удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к докторским диссертациям, но и намного превосходит их».
И Гаусс не ошибся. (В том, что касается математики, он вряд ли вообще когда-либо ошибался.) Докторская диссертация Римана является ключевой работой в истории теории функций комплексной переменной. Я постараюсь подробно рассказать о теории функций комплексной переменной в главе 13, а пока достаточно сказать, что это очень глубокая, мощная и прекрасная ветвь анализа. До настоящего времени практически первое, что изучается в курсе теории функций комплексной переменной, — это условия Коши-Римана, которыми определяются хорошо себя ведущие и заслуживающие дальнейшего изучения функции. Эти уравнения в их современном виде впервые появились в докторской диссертации Римана. Эта работа также содержит первые наброски теории римановых поверхностей, которая представляет собой слияние теории функций с топологией (последний предмет в те времена также был новинкой, в нем не существовало какой бы то ни было связной системы знания, а только разрозненные результаты, восходящие ко временам Эйлера).[65] Докторская диссертация Римана была, одним словом, шедевром.
64
Он проработал полтора года в качестве ассистента в физической лаборатории Beбера, за что могли платить кое-какое скромное жалованье, так что, возможно, все же не был совершенно лишен средств.
65
Топология представляет собой «геометрию резинового листа» — изучение тех свойств фигур, которые остаются неизменными при растяжениях, но без разрезов и склеек. Поверхность сферы топологически эквивалентна поверхности куба, но не поверхности бублика или кренделя. Слово «топология» было введено в обиход Йоханом Листингом в 1836 г. в письме к своему старому школьному учителю. В 1847 г. Листинг написал небольшую книгу, озаглавленную «Предварительные наброски по топологии». Он был профессором математической физики в Геттингене в то же время, когда там находился Риман, и Риман, без сомнения, знал и его самого, и его работы. Однако Риман, по-видимому, никогда не использовал слово «топология», всегда употребляя для этой цели латинский термин, который предпочитал Гаусс,