Начиная с 1882 года Эрмит вел математическую переписку с более молодым математиком, голландцем по имени Томас Стилтьес.[85] В 1885 году Стилтьес опубликовал в Comptes Rendus[86] заметку, где утверждал, что доказал нашу теорему 15.1 — результат более сильный, чем Гипотеза Римана, из которого, если Стилтьес действительно его доказал, следует справедливость Гипотезы (однако неверность его не будет опровержением Гипотезы, см. главу 15.v). Однако в той заметке Стилтьес не привел доказательства. Примерно в то же время он написал Эрмиту и в письме повторил свое утверждение, однако добавил: «Мое доказательство слишком сильно закручено; я попробую упростить его, когда вернусь к работе над этими вопросами». Стилтьес был честным человеком и серьезным, уважаемым математиком — его именем назван один вид интеграла. Ни у кого не было причин сомневаться, что у него действительно имелось доказательство, Стилтьес наверняка и сам так считал.
Тем временем работу Римана 1859 года тщательно исследовали и придали его рассуждениям более аккуратный вид. Удостоенный премии результат Адамара также представлял собой значительный шаг в этом направлении. Далее, в 1895 году в Берлине (Германия в то время была империей, правил которой кайзер Вильгельм I) немецкий математик Ханс фон Мангольдт расчистил значительную часть еще не пройденных дебрей и доказал основной результат Римана о связи функции π(x), подсчитывающей количество простых чисел, с нулями дзета-функции.
Оставались только два ключевых вопроса: Гипотеза и ТРПЧ. К этому времени все заинтересованные наблюдатели понимали, что Гипотеза — более сильное утверждение. Если бы Гипотезу (молоток) удалось доказать, то ТРПЧ (орех) была бы получена как следствие, без всяких дополнительных усилий. Но ТРПЧ можно было установить и исходя из более слабых результатов, без привлечения Гипотезы, причем доказательство ТРПЧ не означало бы справедливости Гипотезы.
Итак, что было делать математику, если учесть широкую распространенность убеждения, что Стилтьес разделался как с первой, так и со второй проблемой? Начать работать над доказательством более слабого результата — путь к которому благодаря работе по расчистке, которую провели Адамар и фон Мангольдт, был теперь довольно ясен? Но стоило ли затрудняться из-за этого, если более сильный результат Стилтьеса по поводу Гипотезы может появиться в тот момент, когда работа сделана лишь наполовину? С другой стороны, к середине 1890-х годов с момента сделанного Стилтьесом заявления прошло 10 лет, и многих, должно быть, начали одолевать сомнения. Эти сомнения никак не касались личности Стилтьеса; в математике нередки случаи, когда математик верит, что доказал некий результат, а потом, просматривая доказательство, обнаруживает (или, чаще, обнаруживают его коллеги), что в нем содержится логический изъян. Так случилось с первым доказательством Последней теоремы Ферма, данным Эндрю Уайлсом в 1993 году. Такое происходит при более драматических обстоятельствах с героем, от лица которого ведется повествование в написанном в 2000 году романе Филиберта Шогта «Дикие числа». Никто не стал бы думать о Стилтьесе хуже, если бы с ним случилось то, что сплошь и рядом случалось в карьерах математиков. Но где все же это доказательство?
И Шарль де ля Пуссен в Лувенском университете в Бельгии, и Жак Адамар в Бордо взялись за более скромную задачу и вскоре добились успеха. Они доказали ТРПЧ. Тем не менее оба, должно быть, гадали, имели ли смысл их усилия, поскольку, даже если бы их статьи были опубликованы раньше статьи Стилтьеса, его гораздо более сильный результат затмил бы их более слабые достижения. Действительно, Адамар пишет в своей статье: «Стилтьес доказал, что все мнимые нули функции ζ(s) имеют (в согласии с предсказанием Римана) вид 1/2 + ti, где t вещественно; однако его доказательство не было опубликовано. Я просто намереваюсь показать, что ζ(s) не может иметь нулей с вещественной частью, равной 1».
Доказательство Стилтьеса так и не было опубликовано; Стилтьес умер в Тулузе в последний день 1894 года. Адамар наверняка знал об этом в ходе работы над своей статьей в 1895-1896 годах, так что он, по-видимому, ожидал появления доказательства в ранее не опубликованных результатах среди наследия Стилтьеса. Но оно так и не появилось. Тем не менее до самого недавнего времени не исключалось, что Стилтьес мог доказать Гипотезу. Однако в 1985 году Эндрю Одлыжко и Херман те Риле доказали результат, который ставит теорему 15.1 под серьезное сомнение. Вера в потерянное стилтьесово доказательство Гипотезы Римана после этого, как я понимаю, в значительной мере улетучилась.{A3}
86
«Полученные доклады». Этот термин столь распространен в научной библиографии, что часто сокращается до C.R.