Последовательность чисел в этой строке такова:
1 6 15 20 15 6 1
Помните, что вашей команде для победы нужно выиграть еще четыре игры, а команде соперников нужны только три победы. Возможен случай, когда ваша команда выиграет все игры, а ее соперники не одержат ни одной победы; число 1 в начале строки относится к этому случаю. Следующее число 6. Оно фиксирует шесть разных возможных последовательностей исходов, при осуществлении которых ваша команда В выиграет турнир, а ее соперники С выиграют только одну игру:
CBBBBB BCBBBB BBCBBB BBBCBB BBBBCB BBBBBC
И существует пятнадцать разных возможных последовательностей исходов, при осуществлении которых ваша команда выиграет четыре игры, в то время как команда соперников победит дважды.
Все остальные комбинации в конце концов приводят к трем нужным для победы соперников выигрышам их команды и меньшему, чем необходимо для победы вашей команды (напоминаем: ей нужны четыре победы), числу ее выигрышей. Это значит, что существует 1 + 6 + 15 = 22 комбинации, при осуществлении которых ваша команда победит после поражения в первом матче, и 42 комбинации, при которых чемпионом станет команда соперников. В результате вероятность того, что после первого поражения ваша команда в оставшихся шести играх выиграет четыре прежде, чем команда соперников выиграет три, равна 22/64 или чуть больше одной третьей.
Из примера следует еще кое-что. Зачем ваша команда будет играть все шесть оставшихся игр в последовательности, в которой она может победить досрочно? Или зачем соперники будут играть все четыре игры, если они могут выиграть в трех и этого им будет достаточно для победы?
Хотя на деле ни одна команда не станет продолжать игру после достижения необходимого для определения чемпиона числа выигрышей, логически законченное решение проблемы было бы неосуществимо без рассмотрения всех математических возможностей. Как заметил Паскаль в переписке с Ферма, в ходе решения задачи математические законы должны доминировать над желанием самих игроков, рассматриваемых только как абстракции. Он поясняет, что «для них обоих абсолютно безразлично и несущественно, будет ли [игра] на деле идти до самого конца».
Переписка была для Паскаля и Ферма восхитительным опытом исследования новых интеллектуальных пространств. Ферма писал Каркави о Паскале: «Я уверен, что он способен решить любую проблему, за которую возьмется». В одном из писем к Ферма Паскаль признаётся: «Ваши числовые построения... превосходят мое понимание». В другом месте он характеризует Ферма как «человека такого выдающегося интеллекта... и такого высочайшего мастерства... [что его работы] сделают его первым среди геометров Европы».
У рассматриваемой задачи были аспекты, которые и Паскаля, глубоко погруженного в религиозные и моральные искания, и юриста Ферма беспокоили больше, чем связанные с ней математические проблемы. Согласно полученному ими решению, раздел банка в неоконченной игре в balla затрагивает проблемы морального права. Хотя игроки могли бы сразу поделить банк поровну, это решение Паскалю и Ферма кажется неприемлемым, потому что оно было бы несправедливым по отношению к игроку, который к моменту прекращения игры оказывается впереди[16].
Паскаль явно озабочен моральными аспектами проблемы и осторожен в словах. В своих комментариях к этой работе он отмечает:
«...в первую очередь следует признать, что деньги, поставленные игроками на кон, им больше не принадлежат... но взамен они получают право ожидать того, что им принесет удача в соответствии с правилами, на которые они согласились вначале». Если они решат остановить игру, не доведя ее до конца, им придется вновь восстановить исходные права на внесенные в банк деньги. Тогда «должно действовать правило, согласно которому деньги нужно распределить пропорционально тому, что каждому обещала удача. <...> Это справедливое распределение известно как раздел».
Справедливые пропорции раздела определяют принципы теории вероятностей.
С учетом этого подхода становится очевидным, что решение Паскаля-Ферма ярко окрашено идеей управления риском, хотя они явно не использовали это понятие. Только безумец идет на риск, если правила не определены, будь то balla, покупка акций IBM, строительство фабрики или согласие на удаление аппендикса.
[16]
Это место и нижеследующие цитаты из Паскаля взяты из: [Guilbaud, 1968]; перевод на английский мой.