Боюсь, для многих получение математических знаний было безрадостным процессом. Представьте, что занятия словесностью свелись к изучению орфографии и пунктуации, а чтение «Гарри Поттера» и сочинение своих собственных историй оказались под запретом. Случись такое, школьники вряд ли бы стали любить литературу.
Вот несколько утрированная иллюстрация того, как некоторые воспринимают изучение математики:
• В начальной школе мне рассказали, что у меня было десять апельсинов, а потом три апельсина кто-то отнял. Зачем? Я бы и так с ним поделился.
• В средней школе я нашел общий знаменатель и подсчитал какие-то проценты.
• В старших классах меня заставили запомнить формулу корней квадратного уравнения[4], я до сих пор могу написать ее, но так и не понял, зачем она мне нужна.
Разумеется, в математике есть много прикладных задач, но среди прочего она обладает великой красотой. Моя цель – поделиться хотя бы частью этой красоты.
Математика изучает числа и геометрические фигуры, и я выбрал эти темы для первых двух частей «Путеводителя».
В части под названием «Число» мы исследуем некоторые необычные числа (например, √2 и e) и последовательности чисел (например, простые числа и числа Фибоначчи). Кроме того, читателя ждет множество неожиданных вещей: он узнает, как одна бесконечность может быть бесконечнее другой и почему в нашем мире на цифру 1 начинается большее количество чисел, чем на цифру 9.
В части под названием «Геометрические фигуры» мы вспомним хороших двумерных знакомых (например, круги и окружности), а также познакомимся с трехмерными фигурами (например, платоновыми телами) и с фигурами, чья размерность больше одного, но меньше двух (с фракталами). Нас ждет немало сюрпризов. Так, все знают, как застелить пол плитками в форме квадратов или равносторонних шестиугольников, но такое возможно и в случае с равносторонними пятиугольниками. Ну что, я вас удивил? Заинтриговал? Этого-то я и добивался.
Завершается книга частью под названием «Неопределенность», там мы рассмотрим идеи случайности, непредсказуемости и интуитивных вычислений. Вы узнаете о том, как чрезвычайно надежный медицинский тест может давать неточные результаты, есть ли смысл в рейтингах и как правильно выбрать кандидата, когда их число больше двух. Как и прежде, вас ждут сюрпризы.
Последовательность глав произвольна, и вы можете читать их в любом удобном вам порядке[5]. Сложность материала разнится от главы к главе, так что вы ничего не потеряете, если пропустите самые заковыристые главы, чтобы вернуться к ним впоследствии.
Не торопитесь. Все главы короткие, но чтобы уловить их основные идеи, нужно время. Я часто прибегаю к вычислениям или алгебраическим выкладкам, чтобы подвести базу под те или иные утверждения. Вы лучше поймете, о чем идет речь, если вооружитесь карандашом и бумагой. Иногда вам нужно будет перечитывать какие-то абзацы, чтобы разобраться во всем досконально.
Можно читать не в одиночку. Предложите приятелю обсудить идеи из книги. Вам придется объяснять их таким образом, чтобы он уловил, о чем вы говорите. Это поможет вам лучше овладеть концепциями, о которых вы прочитали.
Главы устроены так, что самые замысловатые идеи расположены в конце. Лучше всего читать каждую главу последовательно с начала. Возможно, в какой-то момент вы решите остановиться и перейти к следующей главе.
На обложке изображено множество решений уравнения:
(x² + y² – 1)³ = x²y³. (*)
Какая пара чисел (x, y) удовлетворяет этому уравнению? Например, x = 1 и y = 0 при подстановке в левую и правую часть дадут одно и то же число, а именно 0. Если мы подставим x = –1 и y = 1, обе части (*) будут равны 1. Другими словами, пары (1, 0) и (–1, 1) являются решениями уравнения. Обратите внимание, что пара (0, 0) не является решением.
Существует бесконечно много решений уравнения, например x = 0,70711… и y = –0,41401… Если мы подставим эти числа в формулу, обе части будут равны –0,03548…