Откуда мы это знаем? Мы можем снова и снова придумывать пары нечетных чисел и всякий раз убеждаться в том, что их сумма – четное число. Так работают естественные науки, но не математика. Мы абсолютно уверены, что теорема верна, потому что можем привести доказательство.
Чтобы не быть голословным, приведу это доказательство здесь. Вначале нам нужно точно договориться, что значит «четное» и «нечетное». Вот определения:
• Целое число X называется нечетным, если мы можем найти такое целое число a, что X = 2a + 1. Например, 13 – нечетное число, потому что его можно выразить как 2 × 6 + 1.
• Целое число X называется четным, если мы можем найти такое целое число a, что X = 2a. Элегантная формулировка: четное целое число – результат удвоения другого целого числа. Например, 20 четное, потому что 20 = 2 × 10.
После этих определений мы можем перейти к доказательству теоремы о том, что сумма двух нечетных целых чисел – четное число[11].
Доказательство. Пусть X и Y – нечетные целые числа. Это означает, что X = 2a + 1 и Y = 2b + 1, где a и b – целые числа. Сумма X и Y может быть представлена следующим образом:
X + Y = (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2 (a + b + 1).
Итак, X + Y представляет собой удвоенное целое число. Таким образом, X + Y – четное число.
Доказывать теоремы непросто, но это гораздо увлекательнее, чем читать чужие доказательства, потому попробуйте доказать следующее: результат перемножения двух нечетных целых чисел – тоже нечетное число. Попытайтесь справиться с задачей самостоятельно, а потом сверьтесь с доказательством в конце раздела[12].
Другие математические теоремы гораздо интереснее, а их доказательства гораздо сложнее, но цель у них все та же: обосновать математический факт со стопроцентной уверенностью.
Итак:
Теорема – это математическое утверждение, требующее доказательства своей неопровержимой истинности.
Интересные теоремы красивы. Надеюсь, этот «Путеводитель» поможет вам видеть математическую красоту и наслаждаться ею.
Какие три слова жаждут услышать математики?
Конечно, нам греет душу фраза: «Я люблю тебя», но в данном случае речь идет о других заветных словах: «Quod erat demonstrandum». В переводе с латинского они означают: «Что и требовалось доказать» – и обычно завершают математическое доказательство. Впрочем, немногие пишут эту фразу целиком, большинство ученых ограничиваются аббревиатурой QED. К сожалению, и она уже вышла из моды, и сейчас в конце доказательства принято использовать символ, например небольшой квадрат: □.
Часть I
Число
Глава 1
Простые числа
Физик Ричард Фейнман[13] верил: если человечество столкнется с опасностью потери всего научного знания, но у него будет возможность передать потомкам всего одну фразу о науке, эта фраза должна описывать, как атомы образуют материю[14]. Продолжим фантазировать в том же духе. Если бы мы могли передать следующему поколению всего одну математическую идею, это, как мне кажется, должен быть ответ на вопрос: как много существует простых чисел?
Математическая мысль начинается со счета. Мы используем для счета натуральные числа: 1, 2, 3 и т. д. Отсутствие объектов для счета – и необходимость подобрать число для этого отсутствия – приводит нас к понятию нуля. Когда мы складываем или умножаем натуральные числа, результат всегда представляет собой другое натуральное число. Но вычитание внушает беспокойство. Все хорошо, когда мы вычитаем три из пяти: 5 – 3, но если мы поступим наоборот, то получится 3 – 5, и результат не будет натуральным числом. Мы восполняем этот недостаток, вводя отрицательные числа: –1, –2, –3 и т. д.
Множество всех натуральных и полученных при их вычитании отрицательных чисел вместе с нулем называют целыми числами. Математики используют стилизованную букву Z, чтобы обозначить все целые числа:
ℤ = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.
11
Стоит отметить, что доказательство – это не просто набор уравнений. Это рассуждение, шаг за шагом ведущее нас от исходных посылок (
12
Подсказка. Первый шаг вашего доказательства должен быть таким: «Пусть
13
Ричард Фейнман (1918–1988) – американский физик-теоретик, один из разработчиков атомной бомбы, лауреат Нобелевской премии 1965 года «за фундаментальные работы по квантовой электродинамике, имевшие глубокие последствия для физики элементарных частиц». –
14
Вот фраза Фейнмана: «Все вещи состоят из атомов – крохотных частиц; они пребывают в бесконечном движении, притягивая друг друга, когда расстояние между ними невелико, и отталкивая друг друга, когда сжаты вместе».