– Я думаю, нам стоит взять побольше коров, – ответил супруг. – И знаешь, я обнаружил, что если мы удвоим число коров, которых уже купили, то всего у нас окажется 19 коров и лошадей, а цыплят как раз хватит, чтобы совершить эту сделку.
Эта бесхитростная деревенская пара ничего не смыслила в алгебре, и все же им было точно известно, сколько у них цыплят и сколько им нужно приобрести коров и лошадей. Мы просим наших любителей головоломок определить, пользуясь приведенными здесь данными, сколько цыплят привезли фермер и его жена на рынок?
28
Вот одна любопытная головоломка, примечательная не только общим принципом, лежащим в ее основе, но также и тем, что она достаточно древняя и связана с некой забавной историей. Некогда город Кенигсберг,[6] разделенный рекой Прегель на четыре части, включая остров Кнайпхоф, имел восемь мостов. Вот с этими-то мостами и связана старая головоломка, озадачивавшая его славных жителей более двух веков назад.
Прогулка по всем мостам всегда была приятным развлечением для молодежи. Согласно преданиям, размышления о том, насколько длинным окажется путешествие по всем мостам, привели к поразительному выводу, что совершить прогулку по всем мостам, не пройдя по какому-то из них более одного раза, невозможно.
История сохранила упоминание о том, как группа молодежи в 1735 г. посетила математика Леонарда Эйлера с просьбой внести в это дело ясность. Год спустя Эйлер представил Российской Академии наук внушительный отчет, в котором утверждалось, что данная задача неразрешима. Этот отчет появился в трудах Академии за 1741 г. и был переиздан на французском и английском языках, поскольку речь шла о принципе, применимом в случае любого числа мостов.
Профессор У. Роуз Болл из Тринити-колледж, обсуждая древность и достоинство этой задачи, заблуждается, приписывая ее авторство самому Эйлеру, кроме того, он утверждает, что, согласно картам Бедекера, мостов в Кенигсберге было тогда семь. Но в старых записях говорится о восьми мостах, а наша карта аккуратно перерисована из Бедекера.
В данной задаче мы не касаемся вопросов возвращения в исходную точку. Нужно просто доказать, что, начав с какого-то произвольного места в городе, можно попасть в некую его точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Мы просим читателя ответить, сколькими различными путями это можно сделать и какой из этих путей наикратчайший?
29
Один генерал, любитель шахмат, рассказал мне, как во время войны он командовал военным лагерем, в котором одновременно формировалось 20 полков. Ежедневно к каждому полку добавлялось по 100 человек. В последний день каждой недели полк, в котором оказывалось больше всего солдат, отправлялся на фронт.
Как-то оказалось, что в первом полку было 1000 человек, во втором – 950, в третьем – 900 и т. д., в каждом следующем полку было на 50 человек меньше, чем в предыдущем, а в последнем, двадцатом, полку было всего 50 солдат. Генерал обнаружил, что полковник, командовавший пятым полком (где было 800 солдат), – прекрасный шахматист. И вот, чтобы подольше удержать достойного партнера в лагере (иначе он должен был покинуть лагерь через пять недель), генерал еженедельно добавлял в его полк по 30 человек вместо 100, которые добавлялись в другие полки.
Предположим, что 20 полков бесперебойно пополняются рекрутами. Можете ли вы сказать, сколько недель пройдет, прежде чем наш полковник-шахматист отправится в пекло войны?
30
Как-то мне показали любопытную цепочку для карманных часов, которая состояла из четырех монет и брелока в виде фигурки орла. В монетах, как показано на рисунке, имелось соответственно пять, четыре, три и две дырки, так что монеты можно было соединить между собой проволочками в большом числе комбинаций.
Итак, из этих четырех монет можно составлять разнообразные цепочки, соединяющие часы с брелоком; по существу, это задача о нахождении числа возможных размещений пяти частей так, чтобы ни одно из размещений не повторяло в точности никакое другое. Сколько, по-вашему, разных цепочек можно получить из пяти частей?
31
Разумеется, все любители головоломок знают старую задачу про волка, козу и капусту, которых надо было переправить через реку, причем лодочник мог взять с собой в лодку либо одного волка, либо одну козу, либо только капусту. К тому же типу задач принадлежит и столь же старая история о четырех парах влюбленных, однако в ней столько путаницы, что математики, видимо, просмотрели самое лучшее (то есть кратчайшее) решение.