3.44. В правильную усеченную треугольную пирамиду вписан шар радиусом r. Боковое ребро пирамиды равно стороне меньшего основания. Найдите объем пирамиды.
3.45. Два шара радиусом r и один шар радиусом R (R > r) лежат на плоскости, касаясь друг друга внешним образом. Найдите радиус шара, касающегося всех шаров и плоскости.
3.46. Два равных шара касаются друг друга и граней двугранного угла. Третий шар меньшего радиуса также касается граней этого двугранного угла и обоих данных шаров. Дано отношение m радиуса меньшего шара к радиусу одного из равных шаров. Найдите величину α двугранного угла. Каким должно быть m, чтобы задача имела решение?
3.47. На плоскости P стоит равносторонний конус, высота которого 10 см. Каждый из трех равных шаров, лежащих на плоскости P вне конуса, касается двух других шаров и боковой поверхности конуса. Найдите радиус шаров.
3.48. На плоскости уложены n равных конусов, имеющих общую вершину в точке, лежащей на этой плоскости. Каждый конус касается двух других конусов. Найдите угол при вершине конуса в осевом сечении.
3.49. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а. На ребре AB, как на диаметре, построена сфера. Найдите радиус сферы, вписанной в трехгранный угол A тетраэдра, если известно, что она касается построенной сферы и ее центр лежит на высоте тетраэдра.
3.50. Правильная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной а, вращается вокруг прямой, проходящей через ее вершину и параллельной стороне основания. Вычислите объем тела вращения, если плоский угол при вершине пирамиды равен α.
3.51. Полная поверхность конуса в два раза больше поверхности вписанного в него шара. Определите отношение объема конуса к объему шара.
3.52. В основании произвольной (не обязательно прямой) призмы лежит правильный треугольник. Высота призмы равна H. Площади двух боковых граней равны S1, а площадь третьей равна S2. Найдите сторону основания. Исследуйте решение.
3.53. Найдите способ, позволяющий вписать в куб сразу четыре пирамиды: две треугольные и две четырехугольные — так, чтобы их суммарный объем был наибольшим.
3.54. Основанием треугольной пирамиды SABC служит правильный треугольник ABC со стороной 6. Высота пирамиды, опущенная из вершины S, равна 4, а основание этой высоты принадлежит основанию ABC, включая его границу. Около пирамиды описали шар радиусом R. Найдите наименьшее возможное значение R, удовлетворяющее условиям задачи[1].
Глава 4
Геометрические задачи на проекционном чертеже
Умение правильно построить сечение по трем точкам упрощает решение некоторых геометрических задач.
Прежде чем приступать к решению задач этой главы, разберите несколько примеров на построение сечений и теней.
Пример 1. Построить сечение куба, проходящее через точки P, Q и R, расположенные так, как показано на рис. 4.1.
Точки P и Q (и точки Q и R) можно соединить сразу, так как они лежат в одной из граней куба.
Чтобы построить прямую, по которой плоскость сечения пересечет нижнее основание куба (эта прямая называется следом), нужно знать две точки, принадлежащие этой прямой. Одна точка нам дана — это точка R. Другую точку найдем, если продолжим до пересечения отрезки DC и PQ. Это можно сделать, так как указанные отрезки лежат в одной плоскости и, как видно из рис. 4.1, не параллельны. Полученная в результате точка S будет лежать в плоскости нижнего основания, так как вся прямая DC лежит в этой плоскости.
Через точки R и S мы теперь проведем след, который оставит плоскость сечения на плоскости нижнего основания. В результате получим точку T. После того как точки T и P соединены, сечение построено.
Несколько усложним задачу.
Пример 2. Построить сечение куба, проходящее через точки P, Q и R, расположенные так, как показано на рис. 4.2.