Каждому диалектическому понятию соответствует некоторое действительное явление, действительный объект, и это понятие о нем уточняется в ходе познания. В математике понятия числа, операции, пространства, функции и т. д. также суть отражения вполне реальных объектов и их отношений. В то же время отнюдь не каждое математическое понятие связывается непосредственно с каким-либо реальным объектом: устанавливать такие связи – дело наук, использующих математику. Математическое понятие, кроме того, в отличие от всех прочих, есть некоторая неизменная, раз навсегда заданная абстракция.
Математические понятия, будучи определены, не способны к саморазвитию, поэтому изображать развитие с помощью математических абстракций возможно в ряде случаев лишь путем смены этих абстракций, отражая в них разные стороны, а также моменты движения действительного явления, получая тем самым все более уточняющийся образ этого явления.
Для диалектики движение понятий определяется движением явлений и уточняется в процессе познания. Энгельс писал, что «только она представляет аналог и тем самым метод объяснения для происходящих в природе процессов развития, для всеобщих связей природы, для переходов от одной области исследования к другой».[140] Для математики правила вывода заданы заранее, заданы извне, заданы формально. Но каковы бы ни были мотивы выбора этих правил, если они отвечают связям и движению тех сторон явлений, которые верно изображаются математическими абстракциями, мы получим верный результат. А если будем подбирать все более подходящие математические понятия и все более подходящие правила выбора, то в итоге это и будет означать, что как наши формальные математические понятия, так и формальные правила вывода в своей смене, в своем движении перестают быть противоположными понятиям и правилам диалектики и становятся лишь разновидностью диалектических понятий и законов мышления. Диалектика открывает нам новые истины, но и математика, перерабатывая одни понятия и суждения в другие, представляет, например, скрытое (теорема) в явном виде (ее доказательство).
Методологически вопрос о применении математики в науках о действительности сводится, следовательно, к тому, где, для чего, какие математические абстракции применять, какие предпосылки и определения брать, какими правилами вывода в каждом конкретном случае пользоваться, как оценивать полученные математическим путем результаты. Вот почему только другие, нематематические методы исследования могут дать оценку применению математики, обеспечить проверку полученных с помощью математики выводов, подсказать пути дальнейшего внедрения математики. Нужен опыт применения математики в соответствующей области, проверка полученных математическим путем результатов на практике, выработка и использование адекватного данной области исследования математического аппарата. Так возник и развивается аппарат механики и физики, таков же путь внедрения математики во все другие науки, понятия которых на известной ступени развития науки становятся доступными математической обработке.
Математика как одна из форм познания материального мира неотделима от гносеологии и тем самым от диалектики. В то же время математические теории применимы к действительности диалектически только в своем отрицании, т. е. непременно в смене и уточнении этих теорий, в процессе применения различных математических средств к одному и тому же явлению, в процессе исследования одной и той же стороны явления разными математическими методами. Каждая отдельная математическая теория, даже если она изображает движение, является неизменной, неподвижной абстракцией, причем ни одна математическая теория, будучи взята в отдельности, не даст о явлении больше знаний, чем заложено неявно в ее предпосылках. Попытки построить раз навсегда законченную, неуточняемую математическую теорию, изображающую некоторый действительный процесс – например, экономического развития, – являются попытками остановить движение познания. Напротив, абстрагирование, выделение в специальный объект исследования отдельных сторон, связей и отношений действительности, которое составляет суть математики, если оно делается с сознанием неполноты исследования, с сознанием того, что результаты верны в той узкой области, где данные математические абстракции хорошо отражают действительность, такое абстрагирование составляет важный этап в познании явлений, необходимый и безусловно признаваемый как один из методов их исследования.