Струнные транспортные системы: на земле и в космосе

a (/q + Zq “ ~ vO> ⁺ ^0 ^ ^{< 2} ~ 2/₀ — а£,

(/₀ - z)(a - v), 21₀- at < z < 1₀.

На рис. 4.4 изображены формы пролета на рассмотренных интервалах времени.

Траектория нагрузки является прямой линией, т.е. нагрузка движется на невозмущенной части пролета. Учитывая периодичность функции /₃, /₄ во времени, можно продолжить их на новые временные интервалы и получить на этих интервалах функцию и (z, t). В этом, однако, нет необходимости, так как после схода нагрузки с пролета в момент времени Z₀/v движение пролета можно рассматривать как результат развития возмущений его формы и скорости, имевших место в любой фиксированный момент времени t > Z₀/v. Как следует из рис. 4.4 и соответствующей формулы для «, в момент

“Та

скорости точек пролета равны нулю. Следовательно, начиная с этого момента форма пролета, как форма колеблющейся струны, может быть построена геометрическим способом, описанным, например, в [7Ь

Воспользуемся рис. 4.4 для определения максимального динамического прогиба пролета а^^тах. Легко видеть, что максимальный прогиб достигается в момент времени

rlmax

Та >+!

в точке

*о~27

lmax Лтах » V + а Z — Qt — In

пролета. Следовательно,

..lmax __ л ^ /.. _ч Jmax „ ^0 _ ^0

u_d -A_Wo(*-a)z

1/2

= 2и\^тах

(4.55)

Из (4.55), следует, что при увеличении v максимальный динамический прогиб пролета убывает, а при скорости v, близкой к скорости а, в два раза превышает максимальный статический прогиб.

at - k а

Форму пролета при движении по нему транспортного модуля, т.е. двух нагрузок величиной Р на расстоянии Ij одна от другой, можно получить, используя рис. 4.4. Для этой дели достаточно сложить форму пролета для выбранного момента времени из рис. 4.4 с соответствующей этому моменту формой, смещенной по времени на величину l_x/v. В качестве примера на рис. 4.5 изображена форма пролета при l\/v < t < Iq/v.

Проведенный геометрический анализ формы пролета при движении двух нагрузок позволяет заключить, что максимальный динамический прогиб u⁴_d^max достигается в момент времени

h

2v

,2ша х Л max . t = t “Г

в точке струны

2max Imax , Л #

Z = Z т -ц--,

2 v

Тогда

. 2тах ^ud

= 2 и(z^2max, /^2тах) =

Р1о

p'av

/₀ а + v

1тах

1 -

ч а

1тах

Ч а

(4.56)

Iq а 4- у

L а + v

принадлежит у. Рассмотрим первый из этих интервалов, т.е. будем считать, что

, а .

Чтобы получить конечное выражение для функции и (z, г), кроме функций 1_Х — /₄ будем использовать функцию

⁰⁰ 1

1 .

21

-v2 Л sin л ^

д= 1 «^{2 ;}0 I ^а

. ttz sin п — = 1(\
U7I2	[*M]	, 0 < z < at — 2/0 ,		^ ^ а а
2/0 '	(at — 2/0) f	i-fl4	, at — 2/0 < z	< 4/q — a t.

Опустим некоторые промежуточные вычисления и запишем функцию перемещений и (z, t) на нескольких последовательных временных интервалах.

При 0 < t < —: и = А (1\ - /₂),

О 10, at < z < l₀

2 fz (v а), 0 < z < vt, 1_Х - /₂ = j v (z - at), vts z < at,

2L

При — < t < ——: и ~ ~A (/₂ 4- /₄) ^r а а + v ^{4 1 47}

z (a — v), 0 < z < v/,

Н + U~

v (<2/ — z), Vt < Z <

21

0

2v(/o - z),

2/,

0

а 4- v

а + v ’

<z<L.

2L L

^ПР^И * < < 7: и = -Л (/₂ + /₄)

z (a — v), 0 < z < 21q — at, z (a — 2v) + v (2/₀ - a<) , 2/₀ - z < v<, 2v(/₀ - z), vt<z<l₀.

^/2 ^{+ /}4 = fe

L 2L

При < t < : и = X (7₃ - /₄)

z (v - a), 0 < z < 2l₀- at,

l_Qa

z (2v — a) + v (a/ — 2/₀), 2/₀ — S z < Z₀ + —— ai, l₀a

(a - v)(/₀ - z), Z₀ + — at < z < l_Q

2ln

In

При—< t< 2^13 + -) /₅)

3z (v — a), G < z < - 2/₀,

ЛГ

⁵~ 2/_n

/₀a

z (2v — a) + v (at — 2l₀), <2/ 2/₀ < z < /₀ -f — - Щ,

/()&

(a ~ v)(/₀ - z), l₀ + — ~ at < z < l₀.

Формы пролета, соответствующие рассмотренным промежуткам времени, представлены на рис. 4.6. При

¹~ 2а ^{13 +}

In

скорости точек пролета, как видно из рисунка, становятся нулевыми и, следовательно, в любой последующий момент времени его форму можно получить геометрическим построением, описанным в [31 ].

Координата z^lniax максимального динамического прогиба w^^max и момент времени /^1тах, в который он достигается, легко определяются из рис. 4.6.

, Imax Аud = Л	^lmax _	2*0	„Imax	о Imax Civ
		а + v ’	z
	Я Imax	1о**	1
	2 /о	p’av	N

4

Случай а/2 < v < а (скорость движения нагрузки меньше скорости распространения волны деформации вдоль струны)- Максимальный прогиб.

В отличие от предыдущеего случая для суммирования рядов в равенстве (4.53) при у < а недостаточно только этого ограничения на скорость движения нагрузки и при выполнении расчетов необходимо вводить дополнительные ограничения на у. Это является признаком того, что при у < а колебания пролета будут качественно различны в зависимости от того, какому из интервалов