(2.5)
и вероятность того, что ими будет зарегистрирована пара, дается квадратом модуля этой амплитуды:
(2.6)
В итоге выясняется, что вдвое более вероятно обнаружить две идентичные бозе-частицы, рассеянные в одно и то же состояние, по сравнению с расчетом, проводимым в предположении, что частицы различны.
Хотя мы считали, что частицы наблюдаются двумя разными счетчиками, — это несущественно. В этом можно убедиться следующим образом. Вообразим себе, что оба направления 1 и 2 привели бы частицы в один и тот же маленький счетчик, который находится на каком-то расстоянии. Мы определим направление 1, говоря, что оно смотрит в элемент поверхности dS1 счетчика. Направление же 2 смотрит в элемент поверхности dS2 счетчика. (Считается, что счетчик представляет собой поверхность, поперечную к линии рассеяния.) Теперь уже нельзя говорить о вероятности того, что частица направится точно в каком-то направлении или в определенную точку пространства. Это невозможно — шанс зарегистрировать любое фиксированное направление равен нулю. Если уж нам хочется точности, то нужно так определить наши амплитуды, чтобы они давали вероятность попадания на единицу площади счетчика. Пусть у нас была бы только одна частица a; она бы имела определенную амплитуду рассеяния в направлении 1. Пусть<1|а>=a1 определяется как амплитуда того, что а рассеется в единицу площади счетчика, расположенного в направлении 1. Иными словами, мы выбираем масштаб а1 и говорим, что она «нормирована» так, что вероятность того, что а рассеется в элемент площади dS1 равна
(2.7)
Если вся площадь нашего счетчика ΔS и мы заставим dS1 странствовать по этой площади, то полная вероятность того, что частица а рассеется в счетчик, будет
(2.8)
Как и прежде, мы хотим считать счетчик настолько малым, что амплитуда а1 на его поверхности не очень меняется; значит, а1 будет постоянным числом, и мы обозначим его через а. Тогда вероятность того, что частица а рассеялась куда-то в счетчик, равна
(2.9)
Таким же способом мы придем к выводу, что частица b (когда она одна) рассеивается в элемент площади dS2 с вероятностью
(Мы говорим dS2, а не dS1 в расчете на то, что позже частицам а и b будет разрешено двигаться в разных направлениях.) Опять положим b2 равным постоянной амплитуде b; тогда вероятность того, что частица b будет зарегистрирована счетчиком, равна
(2.10)
Когда же имеются две частицы, то вероятность рассеяния а в dS1 и b в dS2 будет
(2.11)
Если нам нужна вероятность того, что обе частицы (и а, и b) попали в счетчик, мы должны будем проинтегрировать dS1 и dS2 по всей площади ΔS; получится
Заметим, кстати, что это равно просто ра·рb в точности так, как если бы мы предположили, что частицы а и b действуют независимо друг от друга.
Однако, когда две частицы тождественны, имеются две неразличимые возможности для каждой пары элементов поверхности dS1 и dS2. Частица а, попадающая в dS2, и частица b, попадающая в dS1, неотличимы от а в dS1 и от b в dS2, так что амплитуды этих процессов будут интерферировать. (Когда у нас были две различные частицы, то, хотя мы на самом деле не заботились о том, какая из них куда попадает в счетчике, мы все же в принципе могли это узнать; так что интерференции не было. А для тождественных частиц мы и в принципе не можем этого сделать.) Мы должны тогда написать, что вероятность того, что пара частиц очутится в dS1 и dS2, есть
(2.13)
Однако сейчас, интегрируя по поверхности счетчика, нужно быть осторожным. Пустив dS1 и dS2 странствовать по всей площади ΔS, мы бы сосчитали каждую часть площади дважды, поскольку в (2.13) входит все, что может случиться[4] с каждой парой элементов поверхности dS1 и dS2. Но интеграл можно все равно подсчитать, если учесть двукратный счет, разделив результат пополам. Тогда мы получим, что Р2 для тождественных бозе-частиц есть
4
Перестановка dS1 и dS2 в (2.11) приводит к другому событию, так что оба элемента поверхности обязаны пройтись по всей площади счетчика. В (2.13) мы рассматриваем dS1 и dS2 как пару и включаем все, что может случиться. Если интегралы опять включают все, что случится, когда dS1 и dS2 поменяются местами, то все считается дважды.