(17.40)
(17.41)
Теперь взглянем на то, что мы сделали. Для каждого состояния, описываемого числами l и m, мы знаем функции Yl,m; тогда из уравнения (17.40) можно определить Kl Затем, подставив Kl в (17.41), мы получим дифференциальное уравнение для функции Fl(r). Если мы его сможем решить, то все множители, входящие в (17.37), нам станут известны, и мы узнаем ψ(r).
Чему же равно Кl? Ну, во-первых, заметьте, что при всех m (входящих в данное l) оно должно быть одним и тем же, поэтому мы вправе выбрать в Yl,m то m, какое нам нравится, и вставить его в (17.40). Пожалуй, проще всего взять Yl,l. Из уравнения (16.24)
(17.42)
Матричный элемент Ry(θ) тоже совсем прост:
(17.43)
где b — некоторое число[81]. Объединяя их, получаем
(17.44)
Подстановка этой функции в (17.40) даст
(17.45)
Теперь, когда мы определили Кl, уравнение (17.41) даст нам радиальную функцию Fl(r). Перед нами обычное уравнение Шредингера, у которого угловая часть заменена ее эквивалентом KlFl/r2. Перепишем (17.41) в той форме, в какой мы писали уравнение (17.8):
(17.46)
У потенциальной энергии появилась какая-то таинственная добавка. Хотя она появилась на свет после длинной серии математических шагов, тем не менее у нее простое физическое происхождение. Мы беремся рассказать о ее происхождении при помощи полуклассических аргументов. После этого она уже не покажется вам такой таинственной.
Представим классическую частицу, вращающуюся вокруг некоторого силового центра. Полная энергия сохраняется и является суммой потенциальной и кинетической энергий
В общем случае v разлагается на радиальную компоненту vr и на касательную компоненту r.θ, т. е.
Момент количества движения mr2.θ тоже сохраняется; пусть он равняется L. Тогда можно написать
т. е. энергия равна
Если бы момента количества движения не было, у нас осталось бы только два первых члена. Добавление момента количества движения L изменяет энергию как раз так, как если бы к потенциальной энергии добавился член L2/2mr2. Но он почти точно совпадает с добавкой (17.46). Единственная разница в том, что вместо ожидаемого числителя l2ℏ2 (этого можно было бы ожидать) появляется комбинация l(l+1)ℏ2 Но мы еще раньше видели [например, в гл. 34, § 7 (вып. 7)], что это обычная замена, к которой всегда приходится прибегать, если хотят, чтобы квазиклассические рассуждения совпали с правильным квантовомеханическим расчетом. Поэтому новый член можно понимать как своего рода «потенциал», определяющий «центробежную силу» и возникающий в уравнениях радиального движения вращающейся системы [см. гл. 12, § 5 (вып. 1)].
Теперь мы уже можем решить уравнение (17.46) относительно Fl(r). Оно очень похоже на (17.8), так что прибегнем к той же технике. Все повторяется вплоть до уравнения (17.19), в котором появится добавочный член
(17.47)
Его можно записать еще и так:
(17.48)
(Мы выделили первый член, а затем текущий индекс k сдвинули на единицу.) Вместо (17.20) появится
(17.49)
Поскольку член с ρ-1 только один, то он должен обратиться в нуль. Коэффициент a1 должен быть равен нулю (если только l не равно нулю, но тогда мы приходим к нашему прежнему решению). А когда все квадратные скобки при любых k обратятся в нуль, то и все следующие члены станут равны нулю. Из-за этого условие (17.21) переходит в
(17.50)
Это единственное существенное видоизменение по сравнению со сферически симметричным случаем.
Как и раньше, ряд должен оборваться, если мы хотим, чтобы решения представляли связанные электроны. Если αn=1, то ряд оборвется на k=n. Условие на α получается таким же: α должно быть равно 1/n, где n — целое число. Однако (17.50) приводит и к новому ограничению. Индекс k не может быть равен l, в противном случае знаменатель обратится в нуль, а аl+1 — в бесконечность. Иначе говоря, поскольку a1=0, то (17.50) подразумевает, что все последовательные ak обращаются в нуль, пока мы не придем к аl+1, которое может быть и не нулем. Это означает, что k должно начинаться с l+1 и кончаться на n.
81
Это нетрудно вывести из (16.35). Но можно это сделать, исходя из основных принципов; надо только воспользоваться идеями, изложенными в гл. 16, § 4. Состояние |l, l> может быть составлено из 2l частиц со спином 1/2, у которых спин направлен вверх; а в состоянии |l, 0> l спинов было бы направлено вверх, а l — вниз. При повороте амплитуда того, что спин останется тем же, равна cosθ/2, а амплитуда того, что он перевернется, равна sin θ/2. А нас интересует амплитуда того, что l спинов не перевернутся, а другие l перевернутся. Такая амплитуда равна (cosθ/2sinθ/2)l, а это то же самое, что sinlθ.