§ 4. Оператор места
Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |ψ> каково среднее значение координаты х? Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией ψ(x), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем? Очевидно, ∫xP(x)dx, где Р(х)—вероятность обнаружить электрон в небольшом элементе длины dx возле х. Пусть плотность вероятности Р(х) меняется с х так, как показано на фиг. 18.1.
Фиг. 18.1. Кривая плотности вероятности, представляющей локализованную частицу.
Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.
Мы видели раньше, что P(x)=|ψ(x)|2=ψ*(x)ψ(х), значит, среднее х можно записать в виде
(18.33)
Наше уравнение для <x>ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя ψ оператор ^ℋ, а когда считаем среднее положение, ставим просто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали
(18.34)
где
(18.35)
и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |α>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |α>, чтобы было
(18.36)
Разложим сперва <ψ|α> по x-представлению:
(18.37)
Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)
(18.38)
Воздействие на |ψ> оператора ^x для получения |α> равнозначно умножению ψ(x)=<x|ψ> на х для получения α(х)=<x|α>. Перед нами определение оператора ^x в координатном представлении[85].
(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора ^x. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что
(18.39)
Тогда вы сможете доказать поразительную формулу
(18.40)
т. е. что оператор ^x обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)
А может, вы хотите знать среднее значение x2? Оно равно
(18.41)
Или, если желаете, можно написать и так:
где
(18.42)
Под ^x2 подразумевается ^x^x — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x2>ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение хn или любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.
§ 5. Оператор импульса
Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р)dp — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда
(18.43)
Обозначим теперь через <р|ψ> амплитуду того, что состояние |ψ> есть состояние с определенным импульсом |р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп.р|ψ>; она является функцией от р, как <x|ψ> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было
85
Уравнение (18.38)