Прежде всего вы должны быть в состоянии сделать разумные предположения о том, каким образом распределены состояния в атомах, которые выходят из печи. Например, если в печи нет чего-либо «особого», то разумно предположить, что атомы покидают печь, будучи «ориентированы» как попало. Квантовомеханически это соответствует вашему утверждению о том, что о состояниях вы не знаете ничего, кроме того, что треть атомов находится в состоянии (+S), треть — в состоянии (0S) и треть — в состоянии (-S). Для пребывающих в состоянии (+S) амплитуда пройти сквозь А есть <χ|А|+S>, а вероятность |<χ|А|+S>|2. То же и для других. Общая вероятность тогда равна
Но почему мы пользовались S, а не Т или каким-нибудь другим представлением? Дело в том, что, как это ни странно, ответ не зависит от того, каким было исходное разложение; он один и тот же, если только мы имеем дело с совершенно случайными ориентациями. Таким же образом получается, что
для любого χ. (Докажите-ка это сами!)
Заметьте, что неверно говорить, будто входные состояния обладают амплитудой √1/3 быть в состоянии (+S), √1/3 в состоянии (0S) и √1/3 в состоянии (-S); если бы это было так, были бы допустимы какие-то интерференции. Здесь вы просто не знаете, каково начальное состояние; вы обязаны думать на языке вероятностей, что система сперва находится во всевозможных мыслимых начальных состояниях, и затем взять средневзвешенное по всем возможностям.
Глава 4 СПИН ОДНА ВТОРАЯ[11]
§ 1. Преобразование амплитуд
В предыдущей главе мы, пользуясь в качестве примера системой со спином 1, набросали общие принципы квантовой механики.
Любое состояние ψ можно описать через совокупность базисных состояний, задав амплитуды пребывания в каждом из них.
Амплитуда перехода из одного состояния в другое может быть в общем случае записана в виде суммы произведений амплитуд перехода в одно из базисных состояний на амплитуды перехода из этих базисных состояний в конечное положение; в сумму непременно входят члены, относящиеся к каждому базисному состоянию:
(4.1)
Базисные состояния ортогональны друг другу — амплитуда пребывания в одном, если вы находитесь в другом, есть нуль:
(4.2)
Амплитуда перехода из одного состояния в другое комплексно сопряжена амплитуде обратного перехода
(4.3)
Мы немного поговорили о том, что базис для состояний может быть не один и что можно использовать (4.1), чтобы перейти от одного базиса к другому. Пусть, например, мы знаем амплитуды <iS|ψ> обнаружения состояния ψ в любом из базисных состояний i базисной системы S, но затем решаем, что лучше описывать состояние в терминах другой совокупности базисных состояний — скажем, состояний j, принадлежащих к базису Т. Мы тогда можем подставить в общую формулу (4.1) jT вместо χ и получить
(4.4)
Амплитуды обнаружения состояния (ψ) в базисных состояниях (jТ) связаны с амплитудами его обнаружения в базисных состояниях (iS) совокупностью коэффициентов <jT|iS>. Если базисных состояний N, то таких коэффициентов всего N2. Эту совокупность коэффициентов часто называют «матрицей преобразования от представления S к представлению Т». Математически это выглядит страшновато, но стоит все чуть обозначить иначе и оказывается, что ничего страшного нет. Если обозначить через Сi амплитуду того, что состояние ψ находится в базисном состоянии iS, т. е. Ci=<iS|ψ>, а через C'j назвать соответствующие амплитуды для базисной системы Т, т. е. Сj=<jT|ψ>, то (4.4) можно записать в виде
(4.5)
где Rji — то же самое, что и <jT|iS>. Каждая амплитуда Cj есть сумма по всем i одного ряда коэффициентов Rji, умноженных на каждую амплитуду Сi. Это выглядит так же, как преобразование вектора от одной системы координат к другой.
11
Эта глава — не что иное, как весьма абстрактное и длинное отступление от основной линии рассказа; в ней нет каких-либо новых идей, которые бы не появлялись иным путем в дальнейших главах. Поэтому можете спокойно пропустить ее, а позже, если заинтересуетесь, вернуться.