Тогда (6.8) совпадает с
(6.10)
Такое же уравнение можно написать и для всякого другого вектора состояния, скажем для |χ>, но, конечно, с другими коэффициентами, скажем с Di. Тогда будем иметь
(6.11)
где Di — это просто амплитуды <i|χ>.
Представим, что мы начали бы с того, что в (6.1) абстрагировались бы от φ. Тогда мы бы имели
(6.12)
Вспоминая, что <χ|i>=<i|χ>*, можно записать это в виде
(6.13)
А теперь интересно вот что: чтобы обратно получить <χ|φ>, можно просто перемножить (6.13) и (6.10). Только, делая это, надо быть внимательным к индексам суммирования, потому что они в разных уравнениях разные. Перепишем сперва (6.13):
Это ничего не меняет. Объединяя с (6.10), получаем
(6.14)
Вспомните, однако, что <j|i>=δij, так что в сумме останутся только члены с j=i. Выйдет
(6.15)
где, как вы помните, Di*=<i|χ>*=<χ|i>, а Ci=<i|φ>. Опять мы являемся свидетелями тесной аналогии со скалярным произведением
Единственная разница — что Di нужно комплексно сопрягать. Значит, (6.15) утверждает, что если разложить векторы состояний <χ| и |φ> по базисным векторам <i| или |i>, то амплитуда перехода из φ в χ дается своего рода скалярным произведением (6.15). А это просто (6.1), записанное в других символах. Мы ходим по кругу, привыкая к новым символам.
Может быть, стоит подчеркнуть, что в то время, как пространственные трехмерные векторы выражаются через три ортогональных единичных вектора, базисные векторы |i> квантовомеханических состояний должны пробегать всю совокупность, отвечающую данной задаче. В зависимости от положения вещей в нее может входить два или три, пять или бесконечно много базисных состояний.
Мы говорили также о том, что происходит, когда частицы проходят через прибор. Если мы выпустим частицы в определенном состоянии φ, затем проведем их через прибор, а после проделаем измерение, чтобы посмотреть, находятся ли они в состоянии χ, то результат будет описываться амплитудой
(6.16)
Такой символ не имеет близкого аналога в векторной алгебре. (Он ближе к тензорной алгебре, но эта аналогия не так уж полезна.) Мы видели в гл. 3 [формула (3.32)], что (6.16) можно переписать так:
(6.17)
Это пример двукратного применения основного правила (6.9).
Мы обнаружили также, что если вслед за прибором А по ставить другой прибор B, то можно написать
(6.18)
Это опять-таки следует прямо из предложенного Дираком метода записи уравнения (6.9). Вспомните, что между В и A всегда можно поставить черту (|), которая ведет себя совсем как множитель единица.
Кстати говоря, об уравнении (6.17) можно рассуждать и иначе. Предположим, что мы рассуждаем о частице, попадающей в прибор А в состоянии φ и выходящей из него в состоянии ψ. Мы можем задать себе такой вопрос: можно ли найти такое состояние ψ, чтобы амплитуда перехода от ψ к χ тождественно совпадала с амплитудой <χ|A|φ>? Ответ гласит: да. Мы хотим, чтобы (6.17) заменилось уравнением
(6.19)
Конечно, этого можно достичь, если взять
(6.20)
что и определяет собой ψ. «Но оно не определяет собой ψ, — скажете вы, — оно определяет только <i|ψ>». Однако <i|ψ> все же определяет ψ; ведь если у вас есть все коэффициенты, связывающие ψ с базисными состояниями i, то ψ определяется однозначно. И действительно, можно поупражняться с нашими обозначениями и записать (6.20) в виде
(6.21)
А раз это уравнение справедливо при всех i, то можно просто писать
(6.22)
Теперь мы вправе сказать: «Состояние ψ — это то, что получается, если начать с φ и пройти сквозь аппарат A».
Еще один, последний пример полезных уловок. Начинаем опять с (6.17). Раз это уравнение соблюдается при любых χ и φ, то их обоих можно сократить! Получаем[19]
(6.23)
Что это значит? Только то, что получится, если вернуть на свои места φ и χ. В таком виде это уравнение «недокончено» и неполно. Если умножить его «справа» на |φ>, то оно превращается в
(6.24)
а это снова то же уравнение (6.22). В самом деле, мы бы могли просто убрать из (6.22) все j и написать
19
Вы можете оказать, что надо писать не просто А, но |А|. Но тогда это будет похоже на символ «абсолютного значения А». Поэтому обычно черточки опускают. Черточка (|) вообще ведет себя очень похоже на множитель единица.