Тогда (6.34) можно записать так:
(6.35)
Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.
Нам пока мало известно об Uij. Мы знаем только, что при Δt, стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, Uij→1 и Uij→0 при i≠j. Иными словами, Uij→δij при Δt→0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каждый из Uij обязан отличаться от δij на величину, пропорциональную Δt; так что можно писать
(6.36)
Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэффициентов Кij выносят множитель[20] (-i/ℏ); предпочитают писать
(6.37)
Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов Hij(t). Члены Hij — это как раз производные по t2 от коэффициентов Uij(t2, t1), вычисляемые при t2=t1=t,
Подставляя в (6.35) этот вид U, получаем
(6.38)
Суммируя члены с δij, получаем просто Ci(t), что можно перенести в другую сторону уравнения. После деления на Δt мы распознаем в этом производную
или
(6.39)
Вы помните, что Сi(t) — это амплитуда <i|ψ> обнаружить состояние ψ в одном из базисных состояний i (в момент t). Значит, уравнение (6.39) сообщает нам, как каждый из коэффициентов <i|ψ> меняется со временем. Но это все равно, что сказать, что (6.39) сообщает нам, как со временем меняется состояние ψ, раз мы описываем ψ через амплитуды < i|ψ>. Изменение ψ со временем описывается через матрицу Нij, которая, конечно, должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу Hij, которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное описание поведения системы во времени. Таким образом, (6.39)— это квантовомеханический закон для динамики мира.
(Нужно сказать, что мы всегда будем выбирать совокупность базисных состояний, которые фиксированы и со временем не меняются. Иногда используют такие базисные состояния, которые сами меняются. Однако это все равно, что пользоваться в механике вращающейся системой координат, а мы не хотим входить в подобные тонкости.)
§ 5. Гамильтонова матрица
Идея, стало быть, заключается в том, что для квантовомеханического описания мира нужно выбрать совокупность базисных состояний i и написать физические законы, задавая матрицу коэффициентов Нij. Тогда у нас будет все, что нужно, — мы сможем отвечать на любой вопрос о том, что случится. Нам остается выучить правила, по которым находят Н в соответствии с данной физической обстановкой: какое Н отвечает магнитному полю, какое электрическому и т. д. Это самая трудная часть дела. К примеру, для новых странных частиц мы совершенно не представляем, какие Нij употреблять. Иными словами, никто не знает полного Hij для всего мира. (Частично трудность заключается в том, что едва ли можно надеяться на открытие Нij, раз никому не известно, каковы базисные состояния!) Мы действительно владеем превосходными приближениями для нерелятивистских явлений и некоторых других особых случаев. В частности, мы знаем вид Нij, требуемый для движений электронов в атомах — для описания химии. Но мы не знаем полного, истинного Н для всей Вселенной.
20
Здесь небольшая неприятность с обозначениями. В этом множителе i означает мнимую единицу √-1, а не индекс i, относящийся к i-му базисному состоянию! Надеемся, это не слишком смутит вас.