(7.21)
У такой системы однородных алгебраических уравнений ненулевые решения для а1 и а2 будут лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при а1 и а2, равен нулю, т. е. если
(7.22)
Но когда уравнений два и неизвестных тоже два, то можно обойтись и без столь возвышенных представлений. Каждое из уравнений (7.20) и (7.21) дает отношение двух коэффициентов a1 и а2, и эти два отношения должны быть равны. Из (7.20) мы имеем
(7.23)
а из (7.21)
(7.24)
Приравнивая эти отношения, получаем, что Е должно удовлетворять равенству
То же получилось бы и из (7.22). В любом случае для Е получается квадратное уравнение с двумя решениями:
(7.25)
Энергия E может иметь два значения. Заметьте, что оба они вещественны, потому что Н11 и H22 вещественны, а Н12Н21, равное Н12H12=|H12|2, тоже вещественно, да к тому же положительно.
Пользуясь тем же соглашением, что и раньше, обозначим большую энергию EI, а меньшую ЕII. Имеем
(7.26)
(7.27)
Подставив каждую из этих энергий по отдельности в (7.18) и (7.19), получим амплитуды для двух стационарных состояний (состояний определенной энергии). Если нет каких-либо внешних возмущений, то система, первоначально бывшая в одном из этих состояний, останется в нем навсегда, у нее только фаза будет меняться.
Наши результаты можно проверить на двух частных случаях. Если H12=H21=0, то получается EI=H11 и EII=H22. А это бесспорно правильно, потому что тогда уравнения (7.16) и (7.17) не связаны и каждое представляет состояние с энергией H11 и H22. Далее, положив H11=H22=E0 и H21=H12=-А, придем к найденному выше решению:
В общем случае два решения ЕI и ЕII относятся к двум состояниям; мы их опять можем назвать состояниями
У этих состояний С1 и С2 будут даваться уравнениями (7.18) и (7.19), где а1 и а2 еще подлежат определению. Их отношение дается либо формулой (7.23), либо (7.24). Они должны также удовлетворять еще одному условию. Если известно, что система находится в одном из стационарных состояний, то сумма вероятностей того, что она окажется в |1> или |2>, должна равняться единице. Следовательно,
(7.28)
или, что то же самое,
(7.29)
Эти условия не определяют а1 и а2 однозначно: остается еще произвол в фазе, т. е. в множителе типа еiδ. Хотя для а можно выписать общие решения[23], но обычно удобнее вычислять их в каждом отдельном случае.
Вернемся теперь к нашему частному примеру молекулы аммиака в электрическом поле. Пользуясь значениями Н11, H22 и Н12 из (7.14) и (7.15), мы получим для энергий двух стационарных состояний выражения
(7.30)
Эти две энергии как функции напряженности ℰ электрического поля изображены на фиг. 7.2.
Фиг. 7.2. Уровни энергии молекулы аммиака в электрическом поле. Кривые построены по формулам (7.30): E=E0±√(A2+μ2ℰ2).
Когда электрическое поле нуль, то энергии, естественно, обращаются в Е0±А. При наложении электрического поля расщепление уровней растет. Сперва при малых ℰ оно растет медленно, но затем может стать пропорциональным ℰ. (Эта линия — гипербола.) В сверхсильных полях энергии попросту равны
(7.31)
Тот факт, что у азота существует амплитуда переброса вверх — вниз, малосуществен, когда энергии в этих двух положениях сильно отличаются. Это интересный момент, к которому мы позже еще вернемся.
Теперь мы наконец готовы понять действие аммиачного мазера. Идея в следующем. Во-первых, мы находим способ отделения молекул в состоянии |I> от молекул в состоянии |II>[24]. Затем молекулы в высшем энергетическом состоянии |I> пропускаются через полость, у которой резонансная частота равна 24000 Мгц. Молекулы могут оставить свою энергию полости (способ будет изложен позже) и покинуть полость в состоянии |II>. Каждая молекула, совершившая такой переход, передаст полости энергию E=EI-ЕII. Энергия, отобранная у молекул, проявится в виде электрической энергии полости.
24
Теперь мы опять будем писать |