Например, вместо того чтобы сложить всего два нечётных числа, сложим все возможные последовательности нечётных чисел, начиная с 1:
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
Удивительно, но эти суммы всегда оказываются идеальными квадратами. (О том, что 4 и 9 можно представить в виде квадратов, мы уже говорили, а для 16=4∙4 и 25=5∙5 это тоже верно.) Быстрый подсчёт показывает, что это правило справедливо и для бо́льших нечётных чисел и, видимо, стремится к бесконечности. Но какая же связь между нечётными числами с их «лишними» камнями и классически симметричными числами, образующими квадраты? Правильно располагая камешки, мы можем сделать её очевидной, что является отличительной чертой изящного доказательства[7].
Ключом к нему будет наблюдение, что нечётные числа можно представить в виде равносторонних уголков, последовательное наложение которых друг на друга образует квадрат!
Подобный способ рассуждений представлен ещё в одной недавно вышедшей книге. В очаровательном романе Ёко Огавы The Housekeeper and the Professor («Домработница и профессор») рассказывается о проницательной, но необразованной молодой женщине и её десятилетнем сыне. Женщину наняли ухаживать за пожилым математиком, у которого из-за полученной черепно-мозговой травмы в краткосрочной памяти сохраняется информация только о последних 80 минутах жизни. Потерявшись в настоящем, один в своём убогом коттедже, ничего не имея, кроме чисел, профессор пытается общаться с домработницей единственным известным ему способом: спрашивая о размере её обуви или дате рождения и ведя с нею светскую беседу о её расходах. Профессор также питает особую симпатию к сыну экономки, которого называет Рут (Root — корень), потому что у мальчика сверху плоская голова, и это напоминает ему обозначение в математике квадратного корня √.
Однажды профессор предлагает мальчику простую задачу — найти сумму всех чисел от 1 до 10. После того как Рут аккуратно складывает все числа между собой и возвращается с ответом (55), профессор просит его поискать более простой способ. Сможет ли он найти ответ без обычного сложения чисел? Рут пинает стул и кричит: «Это несправедливо!»
Мало-помалу домработница тоже втягивается в мир чисел и сама тайно пытается решить эту задачу. «Я не понимаю, почему так увлеклась детской задачкой, которая не имеет никакой практической пользы», — говорит она. «Сначала я хотела угодить профессору, но постепенно это занятие превратилось в сражение между мной и числами. Когда я просыпалась утром, уравнение уже ждало меня:
1+2+3+…+9+10=55,
и весь день следовало по пятам, будто было выжжено на сетчатке моих глаз, и его никак не получалось проигнорировать». Существует несколько путей решения задачи профессора (интересно, сколько сможете найти вы). Профессор сам предлагает способ рассуждений, который мы уже применили выше. Он интерпретирует сумму от 1 до 10 в виде треугольника из камешков, с одним камешком в первой строке, двумя во второй и так далее, до десяти камешков в десятом ряду.
Эта картинка даёт чёткое представление о негативном пространстве. Оказывается, оно заполнено только наполовину, что показывает направление творческого прорыва. Если скопировать треугольник из камешков, перевернуть его и соединить с уже существующим, то получится нечто весьма простое: прямоугольник с десятью рядами по 11 камешков в каждом, причём общее число камней составит 110.
Так как исходный треугольник — половина этого прямоугольника, то вычисляемая сумма чисел от 1 до 10 должна быть половиной 110, то есть 55.
Представление числа в виде группы камешков может показаться необычным, но на самом деле так же старо, как и сама математика. Слово «вычислять» (англ. calculate) отражает это наследие и происходит от латинского calculus, означающего «галька», которую римляне использовали при выполнении вычислений. Чтобы получать удовольствие от манипуляций с числами, не обязательно быть Эйнштейном (что по-немецки означает «один камень»), но, возможно, умение жонглировать камешками облегчит вам это занятие.
3. Враг моего врага
В начальной школе вычитание учат сразу после сложения. И в этом, безусловно, есть смысл: в обоих случаях применяется счёт чисел, только при вычитании он выполняется в обратную сторону. Психологически действия тоже похожи: ребёнок учится брать и давать примерно в одно и то же время. Сложение и вычитание всегда идут рука об руку. Если человек готов посчитать, сколько будет 23+9, то не сомневайтесь, он скоро ответит и на вопрос, сколько будет 23−9.
Но если углубиться в эту тему, то в отличие от сложения вычитание создаёт довольно неприятную проблему, поскольку в результате могут появиться отрицательные числа. Если я захочу взять у вас 6 булочек, а у вас их только 2, то в реальности у меня ничего не получится. Зато в уме я навешу на вас 4 отрицательные булочки, что бы это ни значило.
Вычитание заставляет нас расширить своё представление о числах. Отрицательные числа более абстрактны, чем положительные. Четыре отрицательные булочки не потрогаешь и не съешь, зато их можно представить. Самое интересное, что в реальном мире отрицательные числа тоже встречаются: долги, перерасход по кредитной карте, минусовые температуры зимой и обозначения подвальных уровней на крытых парковках.
Многие из нас пока ещё не заключили мир с отрицательными числами. Как заметил мой коллега Энди, люди придумали всевозможные забавные мелкие уловки, чтобы обойти страшный отрицательный знак «минус». В отчётах паевых инвестиционных фондов потери (отрицательные числа) печатаются красным или заключаются в круглые скобки, чтобы минусы ни в коем случае не появились. В исторических книгах сказано, что Юлий Цезарь родился в 100 году до н. э., а не в −100 году. Подземные уровни парковки часто обозначаются как B1 и B2. Температура — одно из немногих исключений, когда люди действительно говорят, что она составляет −5 градусов, хотя и в этом случае многие предпочитают фразу «5 градусов ниже нуля». Видимо, в отрицательном знаке есть нечто отталкивающее и… негативное.
Возможно, самое неприятное заключается в том, что при перемножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Поэтому позвольте привести доводы в защиту знака минус.
Как нам определить ценность такого выражения, как −1∙3, где мы умножаем отрицательное число на положительное? Ну хорошо, так как 1∙3 означает сумму 1+1+1, естественно представить −1∙3 как (−1)+(−1)+(−1), что равняется −3. Это должно стать очевидным в примере с деньгами: если вы должны мне 1 доллар в неделю, то по истечении трёх недель вы мне будете должны 3 доллара.
Отсюда уже недалеко до понимания, почему минус, умноженный на минус, даёт плюс. А теперь взгляните на следующий ряд равенств:
−1∙3=−3
−1∙2=−2
−1∙1=−1
−1∙0=0
−1∙(−1)=?
Посмотрите на числа в правой части равенств и удостоверьтесь в том, что это обычная прогрессия: −3, −2, −1, 0… На каждом шаге мы добавляем 1 к предыдущему числу. Таким образом, разве не логично, что следующим числом будет 1?
Это один аргумент в пользу того, почему (−1)∙(−1)=1. Привлекательность такого толкования заключается в том, что оно позволяет сохранить правила обычной арифметики — получается, что они верны как для положительных, так и для отрицательных чисел.
Но если вы бесчувственный прагматик, то, вероятно, будете удивлены, что у этих абстракций есть некие параллели в реальном мире. По общему признанию, жизнь иногда играет по различным правилам. В обычных этических построениях два заблуждения не приводят к истине. Более того, двойные отрицания не всегда равнозначны утверждению; они могут усилить отрицание, как в случае с «Я не могу получить никакого удовлетворения»{1}. (Действительно, в этом отношении язык может быть очень мудрёным. Выдающийся британский философ и лингвист Дж. Остин из Оксфорда как-то в своей лекции заявил, что во многих языках двойное отрицание даёт утверждение, но ни в одном дважды повторенное утверждение не даёт отрицания. На что сидевший в аудитории философ из Колумбии Сидни Мордженбессер ехидно процедил: «Да-да».)
7
Превосходные, но более сложные примеры визуализации математических образов представлены в R. B. Nelsen, Proofs without Words (Mathematical Association of America, 1997).