Математический анализ действительно имеет тенденцию вселять в людей определенный страх, но, как писал более века назад профессор физики Сильванус Томпсон (1851–1916) в книге Calculus Made Easy: «Дураки, которые пишут учебники по высшей математике – а они в большинстве своем умные дураки, – редко берут на себя труд показать, насколько простыми являются простые вычисления»[83]. Он пришел к выводу, что они предлагают ключи от «волшебной земли».
Например, когда дело доходит до второго шага к виртуальному двойнику, исчисление может раскрыть причину изменений в человеческом теле: от сердцебиения[84] до колебаний метаболитов. Научный биограф и популяризатор Грэм Фармело сравнил математическую стенографию дифференциальных уравнений с поэзией: «Если «поэзия – это язык на орбите, как отметил нобелевский лауреат Шеймус Хини, то дифференциальные уравнения – это математический язык на орбите».
Разные классы уравнений требуют разных методов и разной степени усилий для их решения. В целом их можно разделить на линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Линейное многообразие напрямую связывает количества, например, когда X возрастает пропорционально Y (в степени 1). Количество апельсинов, которые вы можете купить в супермаркете, пропорционально тому, сколько денег вы на них тратите: удвоив деньги, вы купите вдвое больше фруктов. Нелинейные дифференциальные уравнения описывают более сложную зависимость, поэтому X возрастает пропорционально Y в другой степени, будь то 2, 1/2 или 100. В типичном (нелинейном) супермаркете, чем больше апельсинов вы покупаете, тем больше скидка. Нелинейность может привести и к неожиданным эффектам: имея достаточно апельсинов, можно открыть фабрику по производству мармелада.
В самом простом виде линейные уравнения решить легко (понадобятся только ручка и бумага), тогда как результаты нелинейных уравнений сложны. Последние – гораздо больше, чем просто кривая: они имеют решения, которые не являются идеальными, могут демонстрировать неоднородность и основываться на нескольких устойчивых состояниях вместо одного, так что верными будут более одного ответа. Эти трудные нелинейные уравнения, которые необходимо решать с помощью хитрой математики и компьютеров, также лучше всего отражают математику поворотов, волн, дуг и изгибов. Они созданы специально для человеческого тела.
Рисунок 10. Изображение, показывающее исчисление, производные и интегралы
Однако наш мозг жаждет простоты. Мы все хотим упростить себе жизнь. Исследования в области когнитивной психологии показывают, что человеческий разум недостаточно уважает нелинейные уравнения[85]. Распространенность нелинейных явлений не находит отражения в исследованиях и по удручающим практическим причинам: линейную математику решать гораздо проще. Это можно увидеть даже в самом слове «нелинейный», потому что исключение на самом деле является правилом. Польско-американский ученый Станислав Улам, с которым мы встретимся в следующей главе, однажды пошутил: «Это все равно, что называть зоологию изучением „животных, не являющихся слонами“»[86].
Вездесущность нелинейности была открыта в 1889 г. французским эрудитом Анри Пуанкаре, которого его учитель прозвал un monstre de mathématiques[87]. Пуанкаре обнаружил, что стоит попытаться проанализировать движение всего лишь трех тел (Солнце, Луна и Земля), и точное решение не может быть найдено аналитическими методами «ручки и бумаги» (это называется «внутренне неинтегрируемая, нелинейная система»).
Пуанкаре открыл то, что мы сегодня называем динамическим хаосом: когда уравнения дают предсказуемые результаты – они детерминированы, – но чрезвычайно чувствительны к введенным в них числам. Без бесконечной точности существует предел того, насколько далеко можно предсказать будущую эволюцию хаотической системы. Этот предел, известный как время Ляпунова, представляет собой глубокую трещину в хрустальном шаре научной теории. Его существование – одна из основных причин, почему научные предсказания носят в лучшем случае вероятностный характер.
84
Zeeman, E. Differential equations for the heartbeat and nerve impulse. In Biological Processes in Living Systems (ed. Waddington, C. H.), 8–67 (Routledge, 2017).
85
de Langhe, B., Puntoni, S. & Larrick, R. Linear thinking in a nonlinear world. Harvard Bus. Rev. 95(3), 130–139 (2017).
86
Cooper, N. G. & Lax, P. From cardinals to chaos: Reflections on the life and legacy of Stanislaw Ulam. Phys. Today (1989). https://doi.org/10.1063/1.2811052.