Их модель элегантным и эмпирическим способом отражает связь между ионными каналами и результирующим измеримым электрическим током, протекающим через клеточную мембрану, знаменуя собой первое математическое описание того, что называется возбудимостью клетки[94]. В своей нобелевской лекции Ходжкин отметил, что «разработанные нами уравнения оказались на удивление мощными». Их расчеты показали хорошее соответствие между предсказанными значениями и остроконечной формой потенциала действия.
Ходжкин и Хаксли не только создали весьма успешную математическую модель сложного биологического процесса, но и подтвердили эту модель последующими детальными молекулярными исследованиями различных трансмембранных белковых каналов, которые позволяют ионам перемещаться внутрь и вовне клеток. Нет ничего более приятного в науке, чем осознание того, что теория, построенная на экспериментальных наблюдениях и математике, может проложить путь к более глубокому пониманию. Показательно также, что этими пионерами были биофизики, что подчеркивает ценность объединения усилий различных дисциплин. Своей работой Ходжкин и Хаксли невольно начали закладывать основы создания виртуального человека.
Пределы исчисления
Замечательным свидетельством силы математики является то, что ее можно использовать, чтобы показать пределы возможностей компьютерного моделирования (тема третьего шага и нашей следующей главы). Это открытие произошло после вопроса, поставленного в Париже в 1900 г. Давидом Гильбертом (1862–1943), профессором математики из Геттингена, Германия, небольшого университетского городка, воспитавшего потрясающие математические таланты, такие как Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), Бернхард Риман (1826–1866), Эмми Нетер (1882–1935) и, конечно же, самого Гильберта, который сформулировал 23 задачи, чтобы вдохновить своих коллег.
Гильберт пришел к поиску ограниченного набора аксиом и правил рассуждения, из которых он мог бы вывести всю математическую истину. Пошаговые процедуры выполнения операций путем слепого применения определенных правил называются алгоритмами, названными в честь латинизированной версии имени Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми, персидского астронома и математика IX в. (и латинского перевода названия его самой известной книги – Algoritmi de numero Indorum («Аль-Хорезми об индуистском искусстве расчета»)).
По словам Гильберта, такого рода поэтапные процедуры должны быть в состоянии доказать истинность вещей и быть «полными», поскольку ни одна истина не выходит за рамки их возможностей. Они также должны быть механическими, то есть настолько четкими, чтобы человеческая субъективность не играла роли. Таким образом, миссия Гильберта легла в основу теории вычислимости – изучения мощности и ограничений алгоритмов.
Вдохновленные Гильбертом, исследователи сделали ряд тревожных открытий об основах математики. В начале 1930-х гг. 25-летний австрийско-чехословацко-американский логик Курт Гёдель (1906–1978) установил, что некоторые математические утверждения неразрешимы, то есть их истинность или ложность нельзя доказать. В каком-то смысле он установил, чего не могут сделать компьютеры[95]. Он продемонстрировал неизбежность обнаружения логических парадоксов, подобных утверждению «Это предложение ложно». Как заметил английский космолог Джон Барроу (1952–2020): «Если бы мы определили религию как систему мышления, которая содержит недоказуемые утверждения, то есть элемент веры, тогда Гёдель научил нас, что математика не просто религия, но единственная религия, способная себя доказать»[96].
Ключевым аспектом программы Гильберта была его так называемая Entscheidungsproblem (проблема принятия решения), полностью сформулированная в 1928 г. Гильберт хотел выяснить, существует ли определенный метод – механический процесс или алгоритм, – который можно применить к любому утверждению и который гарантированно даст правильный ответ на вопрос о том, верно ли это утверждение.
В 1936 г. обескураживающий ответ пришел от 24-летнего английского математика Алана Тьюринга (1912–1954). Его статья On Computable Numbers – одна из самых известных в истории исчисления. В ней описано абстрактное устройство, подобное старомодной пишущей машинке, способное решить проблему Гильберта и эквивалентное любой машине, разработанной для вычисления определенного алгоритма[97]. Это привело к концепции универсальной машины Тьюринга, которая может выполнять любой алгоритм, точно так же, как современный компьютер может выполнять любую программу. Таким образом, Тьюринг придал исчислению математическое значение.
94
Häusser, M. The Hodgkin-Huxley theory of the action potential. Nat. Neurosci. (2000). https://doi.org/10.1038/81426.
95
Роджер Пенроуз в беседе с Дэвидом Эйзенбадом, «Вечер с сэром Роджером Пенроузом», Королевское общество, 8 июня 2022 г.
97
Turing, A. M. On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. Proc. London Math. Soc. (1937). https://doi.org/10.1112/plms/s2–42.1.230.