Решение Entscheidungsproblem предполагает разработку компьютерной программы, которая может проверять вторую программу и решать, завершится последняя или будет «зацикливаться». Тьюринг показал, что общая проблема невычислима и выходит за рамки любой компьютерной программы, какой бы сложной она ни была (мы обсуждаем почему в нашей книге 1995 г. Frontiers of Complexity). Работая независимо в Принстоне в 1936–1937 гг., американский логик Алонзо Чёрч[98] пришел к тем же выводам, что и американец польского происхождения Эмиль Пост в Городском колледже Нью-Йорка[99]. Результат очевиден: математику нельзя описать какой-либо конечной системой аксиом.
Когда Гильберт умер в 1943 г., на его надгробии в Геттингене была высечена цитата «Wir müssen Wissen, Wir werden Wissen» («Должны знать, и будем знать») – слова, которые Гильберт произнес в 1930 г. на ежегодном собрании Общества немецких естествоиспытателей и врачей в ответ на латинскую максиму «Ignoramus et ignorabimus» («Не знаем, и не узнаем»). Однако тезис Чёрча – Тьюринга больше соответствует духу последнего: существуют аспекты нашего мира, которые скрыты от компьютерного моделирования, поскольку они неисчислимы или неалгоритмичны.
Исчисляя реальность
Виртуальный человек зависит от способности компьютеров рассчитывать процессы, происходящие в организме. Однако Тьюринг показал нам, что существуют процессы неисчислимые. Мы не знаем, в какой степени природа неисчислима, но знаем, что примеры таятся в физике. Мы описали один из них в Frontiers of Complexity, обсуждая работу Мэриан Пур-Эль и Яна Ричардса из Университета Миннесоты. Они доказали, что существуют невычислимые решения известных уравнений математической физики[100], в частности волнового уравнения, которое описывает распространение света в пространстве и времени (то есть электромагнитное излучение), но применимо ко всем видам волн, от тех, которые разбиваются о берег, до звуковых.
Для представления волны в математической форме требуется уравнение в частных производных второго порядка как в пространстве, так и во времени, где вторая производная по времени (ускорение амплитуды волны) связана с кривой, которая является второй производной амплитуды в пространстве. Вы можете найти это волновое уравнение в работе Джеймса Клерка Максвелла (1831–1879), чрезвычайно влиятельного шотландского физика-математика (и вдохновителя Эйнштейна), который произвел революцию в нашем понимании электрических полей, магнитных полей и распространения света, рентгеновских лучей и другого электромагнитного излучения. Пур-Эль и Ричардс показали, что для некоторых классов исчислимых начальных условий[101] решения волнового уравнения в более поздние моменты времени неисчислимы[102].
Однако, хотя эти решения и недоступны цифровому компьютеру, они могут быть вычислены с помощью простого аналогового компьютера, который опирается на постоянно изменяющиеся свойства реального мира, а не на ограниченные строки из единиц и нулей арифметики с плавающей запятой. Например, чтобы сложить 5 и 9, простые аналоговые компьютеры могли бы сложить напряжения, куски дерева или количество жидкости, соответствующие этим числам, а затем мгновенно получить ответ 14. Когда дело доходит до исчисления волновых уравнений света, аналоговые вычисления знакомы каждому, кто носил очки, пользовался микроскопом или телескопом: это можно сделать с помощью линзы.
Рассмотрим классическое электромагнитное поле, подчиняющееся уравнениям Максвелла. Для некоторых классов вычислимых начальных условий Пур-Эль и Ричардс показали, что поле можно сфокусировать так, что его интенсивность в точке фокуса возможно измерить с помощью простого аналогового устройства, даже если ни на одном цифровом компьютере оно вычислению не поддается. Это не означает, что цифровой компьютер не даст ответа. Даст, но будет невозможно оценить, насколько он близок к правильному, не используя аналоговое устройство или без нахождения точного математического решения.
В биологии тоже есть неисчислимые процессы. По мнению британского лауреата Нобелевской премии и математика Роджера Пенроуза, сознание не занимается исчислениями: мы сами можем сделать вывод об истинности или ложности утверждений, которые лежат за пределами досягаемости алгоритмов – наше мышление содержит неалгоритмические и неисчислимые ингредиенты[103]. В борьбе за разработку общего искусственного интеллекта это замечательное открытие, опубликованное в книге «Новый ум короля» 1989 г.[104], было тихо проигнорировано.
99
Post, E. L. Finite combinatory processes—formulation 1. J. Symb. Log. 1, 103–105 (1936).
100
Pour-El, M. B. & Richards, J. I. Computability in Analysis and Physics: Perspectives in Logic (Cambridge University Press, 2017). https://doi.org/10.1017/9781316717325.
103
Penrose, R. Précis of The Emperor’s New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics. Behav. Brain Sci. (1990). https://doi.org/10.1017/s0140525x00080675.