Конгресс должен был состояться в сентябре, и мне хотелось до этого поработать с кем-нибудь из европейских математиков, интересующихся теми же вопросами, что и я. По некотором размышлении я остановил свой выбор на Морисе Фреше. Фреше яснее других понимал, какие возможности открывает математика кривых по сравнению с математикой точек (я говорил об этом в предыдущей главе), и в то время все были уверены, что его работы станут важным этапом на пути создания новой математической науки.
Надо сказать, что в настоящее время полученные Фреше результаты, при всей своей значительности, занимают в математике все-таки совсем не то место, которое им когда-то прочили. В какой-то степени это связано с тем, что его работы проникнуты духом абстрактного формализма, глубоко враждебным любым конкретным физическим применениям. Но в то время в Страсбурге — оценить прошлое всегда легче, чем предсказать будущее, — большинство считало, что Фреше безусловно станет вождем математиков своего поколения.
Лично меня в работе Фреше привлекало главным образом то, что по своей внутренней направленности она очень близко примыкала к тому, чем я пытался заниматься в Колумбийском университете в период увлечения топологией. Занятия под руководством Рассела и последующее знакомство с работами Уайтхеда пробудили во мне интерес к использованию в математике аппарата формальной логики. А в работе Фреше многие части так и напрашивались, чтобы их изложили на том странном и в высшей степени оригинальном математико-логическом языке, который Уайтхед и Рассел изобрели для своей работы «Принципы математики» (Principia Mathematical[25].
Собственно, теперь я мог бы уже приступить к описанию конгресса, но, прежде чем рассказывать о событиях, происходивших в Страсбурге летом 1920 года, мне хотелось бы остановиться на смысле терминов «постулационизм» и «конструкционализм». Достоинства и недостатки этих двух школ до сих пор являются предметом многочисленных споров в математике. Не мудрено, что в Страсбурге эта проблема доставила мне множество волнений.
Греческая геометрия исходит из некоторых основных предположений, называемых аксиомами или постулатами; эти предположения рассматриваются как простейшие бесспорные законы логики и геометрии. Некоторые из них имеют в основном формально-логический характер, вроде аксиомы о том, что две величины, равные одной и той же третьей величине, должны быть равны между собой. Другие описывают пространственные отношения, как, например, аксиома параллельности, утверждающая, что через каждую точку Р плоскости, не лежащую на заданной в той же плоскости прямой l, проходит одна и только одна прямая, не пересекающая l, которая и будет параллельна l.
Этот последний постулат не обладает самоочевидностью чисто логических постулатов математики. Целые поколения ученых всячески пытались доказать, что он не может нарушаться. В XVIII столетии итальянский математик Саккери потратил много усилий на исследование различных следствий, получающихся при отказе от аксиомы о параллельности, в надежде, что при этом он рано или поздно придет к какому-либо логическому противоречию. Саккери проделал интереснейшую работу и нашел множество новых форм аксиомы о параллельности, но все его усилия оказались тщетными. Чем более он старался найти противоречия среди следствий из отказа от этой аксиомы, тем более содержательной становилась совокупность фактов, получающаяся при таком отказе. Эта все возрастающая совокупность фактов постепенно приобретала характер геометрии, страшно причудливой по сравнению с обычной геометрией Евклида, но тем не менее внутренне нисколько не противоречивой.
Наконец, в начале XIX столетия целая группа ученых — венгерский математик Янош Больяй, русский математик Лобачевский и великий немецкий математик Гаусс — пришла к смелому заключению о том, что отказ от аксиомы о параллельности вообще не приводит ни к какому противоречию, а означает только переход к новой, неевклидовой геометрии. Начиная с этого времени, все более и более росло понимание того, что так называемые постулаты геометрии, а также постулаты других математических дисциплин вовсе не являются непререкаемыми истинами. К ним начали относиться как к предположениям, которые можно принять или отвергнуть в зависимости от особенностей изучаемой математической системы.
Это соблазнительное отношение к математическим постулатам как к предположениям, произвольно устанавливаемым исследователем в зависимости от решаемой задачи, а не как к неизменным законам мышления постепенно стало обычным для математиков во всех странах. В Америке одним из первых пропагандистов этой точки зрения и, пожалуй, главным из ее ранних сторонников был Эдвард В. Хантингтон из Гарвардского университета; я учился вместе с ним в 1912 году, и он оказал большое влияние на мой образ мыслей.