После защиты докторской диссертации Гарвардский университет предоставил мне стипендию для путешествия за границу. Я использовал ее, чтобы побывать в Англии — в Кембридже, а потом в Германии — в Геттингене. Хотя мне и раньше случалось уезжать из дома, только во время этой поездки я почувствовал, что волен жить по своему усмотрению, и вкусил радость свободного труда. В Кембридже моим главным учителем и наставником был Бертран Рассел. Под его руководством я изучал математическую логику и множество других гораздо более общих вопросов, касающихся философии математики и философии науки вообще. Рассел, который в то время — впрочем, и сейчас тоже — больше всего напоминал сумасшедшего шляпочника[9], блестяще читал лекции, посвященные главным образом недавно созданной теории относительности Эйнштейна. Вместе с небольшой группой студентов, собиравшейся у него дома, я изучал его работы по математической логике и, кроме того, слушал несколько рекомендованных им математических курсов. Самыми интересными из них оказались лекции по высшей математике, которые читал Г. X. Харди, ставший впоследствии профессором в Оксфорде и Кембридже и оказавшийся, быть может, самой значительной фигурой из английских математиков этого поколения.
В Гарварде я защищал докторскую диссертацию по философии математики. Рассел убедил меня, что нельзя заниматься философией математики, не познакомившись более серьезно с самой математикой.
Я обратился к Харди и обнаружил, что он не только идеальный учитель, но и ученый, которого каждый молодой честолюбивый математик смело мог избрать образцом для подражания. Я впервые увидел его у Рассела, когда приезжал в Кембридж с отцом, который по своей обычной рассеянности бросил меня там на произвол судьбы. Тогда мы оба приняли Харди за студента, и только позднее я узнал, что этот робкий юноша, упорно стремившийся оставаться в тени, — великолепный спортсмен и высший авторитет во всех играх с мячом. В зрелые годы Харди стал типичным кембриджским профессором: невероятно сухопарый, вечно в невыглаженных брюках и мятой куртке, добрый, готовый каждому прийти на помощь, но ревниво оберегающий свою независимость и панически боящийся женщин — таким он остался у меня в памяти.
Лекции Харди доставляли мне истинное наслаждение. Я и раньше делал попытки проникнуть в область высшей математики, но каждый раз у меня оставалось чувство неудовлетворенности. Я постоянно ощущал, что в ряде доказательств имеются какие-то пробелы, и у меня не было желания притворяться, что я этого не замечаю. Позже выяснилось, что я был прав и что логические пробелы в обоснованиях математики беспокоили не только меня, но и моих первых учителей. Однако Харди с такой обдуманностью и осторожностью вел меня по лабиринту высшей математики, что при нашем приближении все препятствия отступали как по мановению волшебной палочки, и я, наконец, понял, что такое настоящее математическое доказательство. Харди же я обязан знакомством с интегралом Лебега — знакомством, которое привело меня к первым значительным математическим успехам.
Понятие интеграла Лебега не относится к тем, которые легко можно объяснить неспециалисту, но, поскольку оно очень важно для дальнейшего содержания этой книги, я все же постараюсь если не изложить его во всей полноте, то хотя бы дать представление о том, что это такое. Каждому ясно, что значит измерить длину отрезка прямой линии или площадь, ограниченную окружностью или какой-нибудь другой гладкой замкнутой кривой. В тех случаях, однако, когда требуется как-то измерить длину (или площадь, или объем) множества точек, причудливым образом разбросанных по бесконечному числу отрезков, или каких-то кусочков плоскости или пространства, ограниченных кривыми линиями или поверхностями, или тем более в случаях, когда наше множество точек является столь сложным, что даже приведенное выше довольно запутанное объяснение не описывает его строения, наглядные представления о длине, площади и объеме отказываются служить, и для точного определения соответствующих понятий приходится привлекать довольно абстрактные формальные математические рассуждения. Интеграл Лебега как раз и является инструментом, созданным для измерения сложных точечных множеств подобного рода.
Измерение объемов (или площадей, или длин) сложных областей неправильного строения совершенно необходимо для теории вероятностей и математической статистики; что касается меня, то уже в те далекие годы перед первой мировой войной мне казалось, что этим двум тесно связанным между собой разделам в дальнейшем предстоит завоевать многие области физики. Эти дисциплины были расположены на «ничьей земле» между физикой и математикой. Как раз в таких промежуточных областях, лежащих на стыке нескольких наук, я сделал свои самые крупные открытия; по-видимому, это было связано с тем, что работа такого рода наиболее соответствует главным особенностям моей натуры.
9
Один из персонажей знаменитой детской книги английского математика и писателя Льюиса Керрола (1832—1898) «Алиса в стране чудес».