В конце лета Ингем, как он и рассчитывал, возвратился в Англию, а его жена, дети и девушка, помогавшая по хозяйству, провели с нами еще целый год. Мы снова совершали вместе длинные прогулки, которые теперь казались детям уже не такими трудными. Я несколько раз навещал Ингемов после того, как они все вернулись в Англию. Один из мальчиков, если я не ошибаюсь, готовится сейчас поступить в университет, другой стал офицером военно-воздушных сил. Они до сих пор любят Нью-Хемпшир и нашу долину.
Винтнер по-прежнему оставался нашим летним соседом. Мы решили в 1940—41 учебном году поработать вместе, и он ради этого приехал в Кембридж. К несчастью, в тот год военная тематика поглощала все мое внимание. Я понимал, что, нарушая наш неофициальный договор, я поступаю в какой-то степени нечестно по отношению к Винтнеру. Но оказалось, что он в состоянии игнорировать тягостность политической напряженности, а я нет. И хотя я охотно уделял нашей совместной работе часть своего времени, я не мог сосредоточить на ней все свои интересы. Так мы и шли двумя разными дорогами, постепенно уходя все дальше и дальше друг от друга.
Весной разразилась катастрофа в Норвегии, катастрофы во Франции ждали со дня на день. Душевный покой, который приносила нам жизнь в Нью-Хемпшире, куда мы убегали от потрясений внешнего мира, ничего не стоил перед лицом близящейся гибели европейской цивилизации.
В августе 1940 года в Дартмуте состоялся летний съезд Американского математического общества. Он был настолько приятным, насколько мог быть приятным съезд, во время которого всех по-настоящему интересовала только война.
Так как в технике связи приходится производить много сложных вычислений с комплексными числами, сотрудники телефонной компании Белла построили специальный прибор — цифровую вычислительную машину, выполняющую всевозможные расчеты. При этом они воспользовались одним очень важным нововведением. Дело в том, что обычная арабская цифровая система придает специальное значение числу 10, оправданное только привычкой и не находящее никакого подтверждения в основных законах арифметики. Вместо того чтобы записывать каждое число в виде суммы стольких-то единиц, стольких-то десятков, стольких-то сотен и т. д., мы можем с тем же правом представить целое число в виде суммы единиц, двоек, четверок, восьмерок и т. д. В этом случае вместо десяти цифр, используемых в обычной арифметике, нам понадобятся только две цифры, а именно нуль и единица.
Русские крестьяне при арифметических расчетах в какой-то мере использовали такое представление чисел, называемое двоичной системой счисления[129]. Большое преимущество этой системы перед обыкновенной состоит в том, что таблица умножения сводится здесь к единственному утверждению, что 1 × 1 = 1.
Нетрудно понять, что механизировать арифметические расчеты, выполняющиеся в двоичной системе счисления, значительно легче, чем обычные вычисления над числами, записанными в десятичной системе счисления. Это и было учтено в машине лаборатории телефонной компании Белла, использующей двоичную запись чисел. Единственным серьезным недостатком такой машины является то, что во всех остальных случаях люди все-таки пользуются десятичной системой и встречающиеся числовые данные всегда представляются в виде десятичных чисел. Тем не менее в тех случаях, когда приходится выполнять много громоздких вычислений, часто бывает выгодно пренебречь этим обстоятельством и перевести все исходные данные в двоичную систему, а все окончательные результаты — обратно в десятичную.
В технике двоичная система счисления иногда используется при измерении толщины механических деталей с помощью специального набора «эталонов толщины». Предположим, что у нас имеется один эталон толщиной точно в один дюйм, один эталон толщиной в два дюйма, один эталон толщиной в четыре дюйма и один — толщиной в восемь дюймов. Тогда, комбинируя эти эталоны, мы можем получить любые толщины, равные целому числу дюймов от одного до пятнадцати включительно. Для этого надо только ставить наши эталоны друг на друга в следующих комбинациях:
129
На самом деле сведение произвольных умножений к последовательности удвоений, сложений и вычитаний, а произвольных делений — к последовательности делений пополам, сложений и вычитаний, эквивалентное в какой-то степени использованию двоичной системы счисления, до начала XX века было очень распространено в народной арифметике целого ряда европейских и азиатских стран, а не только России. —